Обсуждение:Система Цермело — Френкеля

Подраздел 2.1 Декларации об учреждении и об упразднении семейств множествПравить

Подраздел 2.1 содержит странные конструкции вроде $Fam$$Fam$  и описание неких "деклараций" образований и упразденний семейств множеств. Нужно добавить ссылки или привести в соответствие с изложением в стандартной литературе (например, Френкель-Бар-Хиллел).

В остальных местах используется нестандартная терминология: "математически корректное суждение" вместо "формула первого порядка", "схема" вместо "схема аксиом", "кучи" и пр.

В описании схемы аксиом преобразования, \phi обозначено как "истинное математически корректное функциональное суждение", что не имеет смысла, т.к. \phi может содержать свободные переменные и значит не является ни ложным ни истинным. Nikitadanilov (обс.) 14:19, 2 сентября 2017 (UTC)Ответить[ответить]

UntitledПравить

Сортировочный цех, товарный вид -- подобная образность нисколько не проясняет дело, только отвлекает.

• Вы правы, убрал. — Алексей Копылов 06:33, 12 июля 2017 (UTC)Ответить[ответить]

UntitledПравить

Значит, таки имеются утверждения, которые не доказуемы в ZFC. То бишь - непротиворечивость ZFC доказана. Интересно, кем и когда? :)))

Гастрит

Эй-эй-эй, а при чем тут аксиоматика Колмогорова?--a_dergachev 14:26, 20 сентября 2007 (UTC)Ответить[ответить]

Отставить ахинею. Во-первых, достоверно известно, что всякая многотрудная система аксиом не может быть проверена на непротиворечивость собственными средствами этой системы. То есть, утверждение о непротиворечивости системы аксиом (как и обратное к нему) непредставимо в аксиоматике этой системы. Это существенный момент, на который должно быть указание в тексте. Кроме того, никого не обеспокоило, что сказано "система ZF содержит бесконечное количество аксиом", а после этого перечислено десять и нет даже намёка на остальные? -- Reepicheep 21:53, 5 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Да и записаны аксиомы безобразно - и множества, и элементы написаны строчными буквами... Кто-нибудь, приведите в порядок это дело, а? 217.118.81.49 02:28, 11 января 2009 (UTC) JvDОтветить[ответить]

В обсуждаемой статье приведены 10 высказываний, которые можно сгруппировать следующим образом.

0. О связи предикатов $=$$~=$  и $\in <!--\; \in \; -->$$~\in$ 

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->x\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->z\in <!--\; \in \; -->y)\to <!--\; \to \; -->x=y)$$~\forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\to x=y)$ 

1. О конструировании [неупорядоченной пары]

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}_1\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}_2\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->z=x_1\vee <!--\; \vee \; -->z=x_2)$$~\forall x_{1}\forall x_{2}\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow z=x_{1}\lor z=x_{2})$ 

2. О существовании "особенных" множеств

2.1 О существовании $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\varnothing$ 

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x(x\notin <!--\; \notin \; -->y)$$~\exists y\forall x(x\notin y)$ 

2.2 О существовании $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ 

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y(\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\in <!--\; \in \; -->y\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x(x\in <!--\; \in \; -->y\to <!--\; \to \; -->x\cup <!--\; \cup \; -->\{x\}\in <!--\; \in \; -->y))$$~\exists y(\varnothing \in y\land \forall x(x\in y\to x\cup \{x\}\in y))$ 

3. О семействах множеств

3.1 О "генерации" семейства множеств

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}w(w\in <!--\; \in \; -->z\to <!--\; \to \; -->w\in <!--\; \in \; -->x))$$~\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow \forall w(w\in z\to w\in x))$ 

3.2 О "ликвидации" семейства множеств

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}w(w\in <!--\; \in \; -->x\wedge <!--\; \wedge \; -->z\in <!--\; \in \; -->w))$$~\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow \exists w(w\in x\land z\in w))$ 

4. Об упорядоченности в семействах множеств

4.1 О регулярности [в семействах множеств]

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x(x\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y(y\in <!--\; \in \; -->x\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->y\to <!--\; \to \; -->z\notin <!--\; \notin \; -->x)))$$~\forall x(x\neq \varnothing \to \exists y(y\in x\land \forall z(z\in y\to z\notin x)))$ 

4.2 О выборе ["делегации" из семейства непустых множеств]

$\begin{array}{c}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{y}_1\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{y}_2(y_1\ne <!--\; \ne \; -->y_2\wedge <!--\; \wedge \; -->\{y_1,y_2\}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->x)\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y(y\in <!--\; \in \; -->x\to <!--\; \to \; -->y\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})\wedge <!--\; \wedge \; -->\\ \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{y}_1\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{y}_2(y_1\ne <!--\; \ne \; -->y_2\wedge <!--\; \wedge \; -->\{y_1,y_2\}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->x\to <!--\; \to \; -->y_1\cap <!--\; \cap \; -->y_2=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}z\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y(y\in <!--\; \in \; -->x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}w(y\cap <!--\; \cap \; -->z=\{w\})))\end{array}$${\begin{matrix}\forall x(\exists y_{1}\exists y_{2}(y_{1}\neq y_{2}\land \{y_{1},y_{2}\}\subseteq x)\land \forall y(y\in x\to y\neq \varnothing )\land \\\ \forall y_{1}\forall y_{2}(y_{1}\neq y_{2}\land \{y_{1},y_{2}\}\subseteq x\to y_{1}\cap y_{2}=\varnothing )\to \exists z\forall y(y\in x\to \exists w(y\cap z=\{w\})))\end{matrix}}$ 

5. Об употреблении математически корректных суждений P(u) и P(u,v) для образования множеств

5.1 О выделении подмножества y из любого множества x с помощью суждения P об элементах множества x

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->z\in <!--\; \in \; -->x\wedge <!--\; \wedge \; -->P(z))$$~\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow z\in x\land P(z))$ 

5.2 О преобразовании любого множества x в множество y с помощью функционального суждения P об элементах множества x

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}u\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}!v(P(u,v))\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}w(w\in <!--\; \in \; -->x\wedge <!--\; \wedge \; -->P(w,z)))$$~\forall u\exists !v(P(u,v))\to \forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow \exists w(w\in x\land P(w,z)))$ 

79.142.87.130 08:32, 29 января 2009 (UTC)Ответить[ответить]

О выводимости "аксиомы пустого множества"

$\begin{array}{r}\{\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}b(b=b\to <!--\; \to \; -->(b\notin <!--\; \notin \; -->a\to <!--\; \to \; -->b=b)),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}b(b=b),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}c\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}b(b\in <!--\; \in \; -->c\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->b\in <!--\; \in \; -->a\wedge <!--\; \wedge \; -->b\ne <!--\; \ne \; -->b)\}\\ ⊢<!--\; ⊢\; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}c\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}b(b\in <!--\; \in \; -->c\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->b\ne <!--\; \ne \; -->b)\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}a\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}b(b\notin <!--\; \notin \; -->a)\end{array}$${\begin{aligned}\{\forall a\forall b(b=b\to (b\notin a\to b=b)),\ \forall b(b=b),\ \forall a\exists c\forall b(b\in c\leftrightarrow b\in a\land b\neq b)\}\\\ \vdash \ \exists c\forall b(b\in c\leftrightarrow b\neq b)\ \land \ \exists a\forall b(b\notin a)\end{aligned}}$ 

О последствиях исключения "аксиомы пустого множества" из списка аксиом ZFC

Если исключить "аксиому пустого множества" из списка аксиом ZFC, тогда формулировка тех аксиом, в которых упоминается $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$~\varnothing$  усложнится. Например, "аксиома бесконечности" приобретёт вид:

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}a(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}b(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}c(c\notin <!--\; \notin \; -->b)\wedge <!--\; \wedge \; -->b\in <!--\; \in \; -->a)\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}b(b\in <!--\; \in \; -->a\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}c(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}d(d\in <!--\; \in \; -->c\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->d\in <!--\; \in \; -->b\vee <!--\; \vee \; -->d=b)\wedge <!--\; \wedge \; -->c\in <!--\; \in \; -->a)))$$~\exists a(\ \exists b(\forall c(c\notin b)\ \land \ b\in a)\quad \land \quad \forall b(b\in a\to \exists c(\forall d(d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b)\ \land \ c\in a)\ )\ )$ 

С каких пор суть формулировки зависит от выбора естественного языка?Править

• «Аксиому объёмности» можно сформулировать по-русски, а именно: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству...» - если это цитата, то нужно добавить ссылку на источник с точностью до страницы. А если это оригинальная формулировка, нужно ее поменять на формулировку из авторитетного источника! И что значит "можно сформулировать по-русски", а по-французски не можно? С каких пор суть формулировки зависит от выбора естественного языка, на котором эта формулировка сделана?! Формула "Аксиому Х можно сформулировать по-русски, а именно:..." повторяется во всей статье!
• Все формулы или группы формул на искусственном языке (мат.символика) также должны быть снабжены точными ссылками вплоть до страницы, тогда проверка статьи сведется к простому сличению ее содержания с упомянутыми источниками. Все, что не совпадает до символа (с учетом очевидной возможности переименования), должно быть удалено или хотя бы помечено шаблоном "нет источника".
• Предложенные меры исключат спор об интерпретации (часто очень вольной) упомянутых в статье источников, которому в Вики не место и который грозит стать инфинитным!--tim2 13:27, 23 апреля 2009 (UTC)Ответить[ответить]

1. Что Вы называете "сутью формулировки"?

2. Почему Вы пришли к выводу, что математики пользуются "искусственным языком"? По моим сведениям, язык сообщества математиков очень древний. Вместе с тем, в этом языке есть символы, которые появились сравнительно недавно (например, символы $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}$$~\forall$  и $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}$$~\exists$ ). Это же наблюдается и в естественных языках (например, в Русском языке недавно появился термин "роуминг").

--Галактион 10:33, 24 апреля 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Как один из авторов статьи "Аксиоматика теории множеств", я не возражаю, чтобы Вы "снабдили" "все формулы или группы формул на искусственном языке (мат. символика)" "точными ссылками вплоть до страницы". В частности, Вы вправе "снабдить" "точными ссылками вплоть до страницы" следующие формулы:

$2\times <!--\; \times \; -->2=4$$~2\times 2=4$ ,

$\mathrm{C}+{\mathrm{O}}_2=\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$$~{\mathrm {C}}+{\mathrm {O_{2}}}={\mathrm {CO_{2}}}$ .

--Галактион 11:01, 24 апреля 2009 (UTC)Ответить[ответить]

• Естественными языками называют языки человеческого общения - русский, немецкий, искусственными (формальными) - языки программирования Паскаль, Си, Фортран, языки наук - хим.формулы, мат.символику и т.д.

• Снабдить приведенные Вами формулы точными ссылками на источники труда не составит: надо взять учебник арифметики для начальной школы и учебник неорганики для средней. А вот снабжать формулы в статье точными ссылками - занятие для того, кто эти формулы в статью внес: надеюсь, он помнит, откуда их переписывал. А если по памяти и не помнит откуда, то почему он так уверен в своей памяти, и почему все остальные должны ему верить на слово? В Вики такому подходу не место.--tim2 13:04, 25 апреля 2009 (UTC)Ответить[ответить]

В разделе "См. также" статьи "Аксиоматика теории множеств" есть ссылка на статью "Zermelo-Fraenkel set theory". "Щёлкнув" эту ссылку Вы попадете в названную статью Wikipedia на Английском языке.

Если Вы обнаружите в этой статье "ссылки вплоть до страницы" у каждой формулы, тогда Вы сможете перенести их в статью "Аксиоматика теории множеств". Если Вы не обнаружите в статье "Zermelo-Fraenkel set theory" требуемых "ссылок вплоть до страницы", тогда попробуйте их найти в Немецком, Французском и иных аналогах названной Английской статьи. Это можно сделать с помощью "интервики".

Если Вы не обнаружите ни в одной из статей, посвященных аксиоматике теории множеств, требуемых Вам "ссылок вплоть до страницы" у каждой формулы, тогда попытайтесь понять, почему это "безобразие" имеет место.

--Галактион 13:52, 25 апреля 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Ни пытаться, ни тем более "щелкать" (т.е. нажимать на ссылку - выражаясь культурно, но не хакерски) не буду. Вики на разных языках независимы, и каждую правят свои редакторы. Речь идет только о Вики-ru. Если не можете привести ссылку на такую же формулу, значит, Вы ее выдумали, а доказали или нет - никого здесь не волнует. Так что потрудитесь, pls, убрать лишний орис, а не заниматься демагогией.--tim2 22:14, 25 апреля 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Dear tim2:

1. Я не против того, чтобы Вы не "нажимали на ссылку - выражаясь культурно, а не хакерски".

2. Я не способен "убрать лишний орис". Вместе с тем, я не возражаю, чтобы Вы направили докладную записку действующему администратору и бывшему кандидату в бюрократы Зимину Василию Геннадьевичу с подробным описание "лишнего ориса", обнаруженного Вами в статье "Аксиоматика теории множеств".

Примечание

В указанной докладной записке Вы вправе указать, что одним из автором статьи "Аксиоматика теории множеств" является участник Галактион, разоблачённый опытными википедистами как "тролль" и "вандал" в последнюю годовщину дня рождения вождя мирового пролетариата В. И. Ульянова (Ленина, ...).

3. Я с пониманием отношусь к Вашим пожеланиям (например, пожеланию "снабдить" каждую формулу "ссылкой с точностью до страницы") и Вашим требованиям (например, "убрать лишний орис").

--Галактион 06:47, 26 апреля 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Dear Галактион,

Зря Вы так ставите вопрос, я ведь выступил на Вашей стороне - на Форуме предлагали откатить статью на состояние до Ваших правок, а я предложил компромисс, который от Вас требует минимальных усилий: почему-то мне кажется, что все эти формулы не Вы придумали. Кстати, если бы, например, Вы попробовали опубликовать подобный текст в каком-нибудь математическом журнале, там бы Вам предъявили то же самое требование: четко отметить, что оригинальное, а что нет, и точно указать, откуда что взято. Так что данное требование отнюдь не специфическая придирка Вики-участников.--tim2 10:49, 27 апреля 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Логика первого порядкаПравить

Открываю статью Логика первого порядка, раздел Интерпритация. На сколько я понял, при применении этой логики необходимо указать несущее множество, а также, на сколько я понял, именно эта логика используется в аксиоматической теории множеств. Так вот какое несущее множество здесь используется (не множество же всех множеств)? (Не судите строго, я в этом не специалист =) )FeelUs 17:56, 13 ноября 2011 (UTC)Ответить[ответить]

Пустое множество существует?Править

  Головорушко Сергей Яковлевич 08:36, 1 мая 2015 (UTC)Ответить[ответить] 

«Аксиому [существования] пустого множества»: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.» можно легко опровергнуть. Отсутствие хотя бы одного элемента в предполагаемом множестве говорит и об отсутствии самого множества. Не может существовать то, чего нет.

Этого доказательства кому-то может показаться недостаточным. В этом случае можно несколько углубиться в философию. Материя представляется нами как существующая в движении. Движение как изменение является способом существования любого материального образования. Набор изменений выступает как материальный объект, выделяемый нами из всего многообразия сущего. Отсутствие движения говорит об отсутствии объектов. В категорийном представлении отсутствие понимается как противоположность существованию. Отсутствие не является чем-то объективно существующим. Нет в природе чего-то такого, на что можно было бы указать, говоря, что его нет. Об отсутствии чего-то мы можем говорить только в контексте понимания, что оно могло бы быть, но его нет. В этом смысле можно говорить о пустом множестве только как о чем-то ожидаемом или объективно возможном, но по какой-то причине отсутствующем. Но поскольку в общем смысле мы не конкретизируем наше ожидание, то и говорить о том, что существует хотя бы в качестве ожидания то, чего нет, не можем.

Легко приняв возможность существования несуществующего, мы легко поддаемся следующим за этим выводам. В частности, единственность пустого множества объясняется отсутствием отличного от него пустого множества. Отличия относятся к свойствам рассматриваемого объекта. А поскольку объекта, как такового нет, то нет и присущих ему свойств. Нет свойств, нет и отличий. Вывод: нет отличных объектов, значит этот объект единственен. Свойства объекта это влияния этого объекта на другие объекты. Пустота может влиять на другие объекты только в том смысле, что "природа не терпит пустоты", то есть стремится ее заполнить. Но в реальном мире абсолютной пустоты нет, всё уже заполнено и было заполнено изначально, если таковое начало было. Если бы абсолютная пустота существовала или наличествовала (поскольку о существовании несуществующего говорить проблематично), то на нее можно было бы указать и тогда можно было бы говорить о пустом множестве.

Головорушко Сергей Яковлевич 08:40, 1 мая 2015 (UTC)Ответить[ответить]

О числе аксиом, аксиоме выбора и АИПравить

Я далёк от аксиоматической теории множеств, которая не устраняет противоречий математики. Но я слышал, что Цермело предложил 8 аксиом, включая аксиому выбора (система Z, она же ZC, так в МЭС и не только), и для не схоластической математики этой системы достаточно. Далее Френкель то ли заменил одну аксиому на более сильную, то ли добавил девятую (последнее — мнение МЭС и некоторых авторов о ZF и ZFC, "C" означает только то, что аксиома выбора Z7 не выбрасывается). У американцев в en:Zermelo–Fraenkel set theory (именно эту статью надо связать с вашей) мнение другое. Системой ZF они называют 8 аксиом без аксиомы выбора и получают ZFC, добавляя аксиому выбора, но почему-то называют её теоремой (они и гипотезы называют теоремами — пагубная система образования). Голова кружится, но в обоих случаях мы имеем максимум 9 аксиом, а у вас 10 без указания АИ. Но далее я читаю преамбулу и вижу, что воспроизводя мнение американской статьи без АИ ни там, ни здесь, вы пишете: "Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Ну если так, то пора пойти выпить... кофе. МетаСкептик12 12:29, 26 августа 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Кстати, при всех разночтениях стандартной является ZFC (см. анг. раздел), а не ZF, если, конечно, считать, что она не включает аксиому выбора. МетаСкептик12 12:38, 26 августа 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Порядок перечисления аксиомПравить

По моему не совсем верен порядок перечисления. По моему было бы верно, если бы все понятия используемые в данной аксиоме вводились в уже перечисленных. Поэтому после аксиомы существования пустого множества должна следовать аксиома пары, потом аксиома кучи, а потом только аксиома формирования бесконечного множества. Так как при построении бесконечного множества используется операция объединения, которая вводится аксиомой кучи, также используется множество {x}, которое как мне видится есть ничто иное как пара {x, x}. — Эта реплика добавлена участником Egorov alev (о • в) 14:32, 10 июня 2017 (UTC)Ответить[ответить]

• Логично. Правьте смело. — Алексей Копылов 15:10, 10 июня 2017 (UTC)Ответить[ответить]

-- Не хотелось бы безоглядно крушить уже кем-то созданное, но мне кажется что последовательность перечисления аксиом очень важна, по крайней важнее некоторой группировки. Тем более в книге самого Френкеля "Foundations of Set Theory" (pp. 27-46), которая, кстати, есть в разделе "Литература" аксиомы "пары" и "объединения" стоят на втором и третьем месте, а аксиома "бесконечности" только на шестом и множество {a} вводится именно как пара {a, a}. Текущая же логика статьи непонятна. Автор сразу вводит бесконечное множество, чтобы постулировать наличие как минимум двух различных множеств, при этом при построении второго множества использует два других различных множества: 0 и {0}, а что такое {a} не объясняется нигде ни выше ни ниже. — Эта реплика добавлена участником Egorov alev (о • в) 12:35, 15 июня 2017 (UTC)Ответить[ответить]

• В википедии у статей нет одного автора, каждая статья - коллективный труд. Поэтому правьте смело, если что, вас поправят. Только надо стараться, чтобы статья не была похожа на письмо дяди Фёдора. Два раза перечислять одни и те же аксиомы точно не надо. — Алексей Копылов 20:54, 15 июня 2017 (UTC)Ответить[ответить]

P.S. Пожалуйста, подписывайтесь на страницах обсуждений: для этого нужно поставить после сообщения четыре знака тильды (~~~~), при сохранении изменений они автоматически будут преобразованы в подпись и дату. Для упрощения Вы можете пользоваться специальной кнопкой   над окном редактирования. — Алексей Копылов 20:54, 15 июня 2017 (UTC)Ответить[ответить]