Обсуждение:Биномиальный коэффициент

Обозначение биномиальных коэффициентовПравить

Предлагаю в данной статье и в статье бином Ньютона поменять обозначения $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$${n \choose k}$  на $C_n^k$$C_{n}^{k}$ , так как второй вариант на данный момент является общепринятым среди математиков и почти полностью вытеснил первый устаревший вариант. Достаточно сказать, что обозначение $C_n^k$$C_{n}^{k}$  применяется в таких авторитетных книгах в своих областях как Фихтенгольц "Курс математического анализа", Демидович "Задачник по математическому анализу", Боровков "Теория вероятностей" и "Математическая статистика" и т.д. и т.п. Кроме того это обозначение применяется и в школе, и в научно-популярной литературе. Я доучился до 3 курса мехмата и встретил устаревшее обозначение $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$${n \choose k}$ , только в одной книге, не помню в какой :))) и был этой встрече не сильно рад, потому что оно обладает на мой взгляд рядом недостатков. Во-первых не очень понятен смысл заложенный в таком обозначении, тогда как $C_n^k$$C_{n}^{k}$  берёт происхождение от французского combinate(?) или типа того. Во-вторых, по аналогии с $C_n^k$$C_{n}^{k}$  в комбинаторике вводятся $A_n^k$$A_{n}^{k}$  и $P_n$$~P_{n}$ , т.е. наблюдается преемственность обозначений. В-третьих, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$${n \choose k}$  неотличимо по виду от вектора и немного сбивает с толку при взгляде на формулу.
В общем, если не будет возражений, работу по изменению обозначений в данной статье я возьму на себя. Voroninv 18:32, 26 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]

• Обозначение $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$n \choose k$  довольно часто попадалась мне в иностранной литературе. В России оно, по-моему, действительно не принято. Поддерживаю Вашу инициативу. --Мышонок 18:38, 26 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]
• Поддерживаю --- надо переписать с $C_n^k$$C_{n}^{k}$ . НО называть $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$${n \choose k}$  «устаревшим» по-моему преждевременно. --Тоша 00:48, 27 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]
  

Ну мне кажется оно не то что устаревшее, а постепенно выходит из употребления. Например, у меня один семинарист использовал это обозначение, но при этом чуть ли не извинялся за это и говорил, что он так привык. По моим подсчётам, он учился где-то так в начале 80-х, наверное тогда это обозначение было больше распространено. Voroninv 08:21, 27 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]
Дико извиняюсь, я не очень внимательно прочитал статью и не заметил следующей фразы

Биномиальный коэффициент $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$${n \choose k}$  является обобщением числа сочетаний $C_n^k$$C_{n}^{k}$ , которое определено только для неотрицательных целых чисел $n$$n$ , $k$$k$ .

Возможно стоит и оставить это обозначение, хотя признаюсь, оно для меня очень непривычно. Voroninv 08:48, 27 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Не вижу между ними принципиальной разницы. В литературе по матанализу, которая мне попадалась, для разложения степеней в ряд Тейлора применялись $C_{1/2}^7$$C_{1/2}^{7}$  или $C_{-<!--\; -\; -->1}^n$$C_{-1}^{n}$  со спокойной совестью. В русскоязычной литературе $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$n \choose k$  я вообще нигде не встречал. --Мышонок 11:29, 27 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Все с точностью до наоборот. В современной математической литературе применяется обозначение $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$  - см. например, свежие книги издательства МЦ НМО. Приведенные примеры Фихтенгольца, Демидовича и пр. - относятся к старым книгам (посмотрите на год первого издания) и пользуются устаревшим обозначением $C_n^k$$C_{n}^{k}$ . Замену $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$  на $C_n^k$$C_{n}^{k}$  считаю нецелесообразной. Maxal 18:09, 28 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Если кому-то интересно, то вот тут была дискуссия об обозначениях биномиальных коэффициентов в русскоязычной литературе. Maxal 05:47, 29 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Так уж давали бы вот эту ссылку, там видно, что обозначение $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$  не прижилось пока в России... Voroninv 12:07, 29 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Ваша ссылка говорит только о том, что университетское образование в России довольно консервативно и не успевает за научными реалиями. Конечно, если учиться по учебникам 60-х годов - то откуда там взяться современным обозначениям? Maxal 18:25, 29 ноября 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Загнул :)
Нужно использовать $C_n^k$$C_{n}^{k}$  --- оно более распространено. --Тоша 13:29, 1 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Где распространено? На лекциях по мат.анализу (как вариант: терверу и т.п.) в университете города Н-ска? Да, возможно. Но "родной" областью для биномиальных коэффициентов, где они изучаются и используются наиболее плодотворно, является комбинаторика (или чуть более обще - дискретная математика), а отнюдь не матан или тервер. По роду своей научной деятельности я с комбинаторикой сталкиваюсь на каждом шагу, и у меня имеется много современных монографий по комбинаторике и смежным областям, в том числе и на русском языке. Так вот, ни одна сколь более-менее серьезная монография не использует обозначение $C_n^k$$C_{n}^{k}$ , везде исключительно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$ . Чтобы не быть голословным - вот что у меня есть под рукой прямо сейчас:

• Перечислительные задачи комбинаторного анализа. Под ред. Г.П.Гаврилова, М: Мир, 1979.
• Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм, М: Наука, 1977
• Риордан Дж. Комбинаторные тождества, М: Наука, 1982.
• Стенли Р. Перечислительная комбинаторика, М: Мир 1990 (том I), М: Мир 2005 (том II)
• Грэхем, Кнут, Паташник Конкретная математика, М: Мир, 1999.
• Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М: Высш. шк., 2000.
• Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика. М: Мир, 1999.
• Харари Ф. Теория графов. М: КомКнига, 2006.
• Прасолов В. Многочлены. М: МЦНМО, 1999.
• Шевченко В.Н. Качественные вопросы целочисленного программирования. М: Наука, 1995.
• Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. (в 2-х томах). М: Гелиос, 2003.

Повторюсь - во всех этих книгах используется обозначение $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$  (специально проверил). Maxal 21:21, 1 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

А у меня во всех книгах (включая, напр., МЭС), обозначение $C_n^k$$C_{n}^{k}$ . И добавлю, что в матанализе биномиальные коэффициенты не менее важны, чем в комбинаторике.--Vector 08:12, 16 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Глупо оспаривать важность биномиальных коэффициентов, но вот частота их использования, например, в книгах/учебниках по матану и по комбинаторике различается в разы. Если в книге по матану тяжело будет найти хотя бы (условно говоря) дюжину страниц, где присутствуют биномиальные коэффициенты, то в книге по комбинаторике тяжело будет найти ту же дюжину страниц, где биномиальные коэффициенты не присутствуют. Кроме того, матан использует биномиальные коэффициенты как вспомогательный аппарат, во многом используя свойства, которые в полном объеме изучаются в комбинаторике. Поэтому при описании биномиальных коэффициентов нужно ориентироваться все-таки на комбинаторику (которая их изучает), а не на матан (который их иногда использует). Maxal 21:59, 16 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Не согласен. В матане биномиальные коэффициенты - очень важные функции. И ваши обозначения там не подходят просто потому что элементарно спутываются с векторами. Считаю, что данное обозначение

• Должно быть отражено в статье
• Должно быть использовано во всех формулах, которые имеют хоть какое-то отношение к матану.

К тому же, как вы собираетесь обозначать количество размещений $A_n^k$$A_{n}^{k}$ , перестановок $P_n$$\,P_{n}$  и т.д? Вот в моей книжке по комбинаторике используются именно такие обозначения.--Vector 22:22, 16 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Во-первых, это не "мои" обозначения, а обозначения принятые в современной научной литературе во всем мире (в том числе и русскоязычной - см. выше). Во-вторых, с векторами их спутать сложно, так как обычно из контекста понятно, о чём идет речь. В-третьих, обозначение $C_n^k$$C_{n}^{k}$  упомянуто в статье и этого достаточно; использование разных обозначений в разных формулах приведет к путанице. В-четвертых, обозначения $A_n^k$$A_{n}^{k}$  и $P_n$$\,P_{n}$  по сути не нужны, так как (i) редко используются; (ii) тривиальным образом выражаются через биномиальные коэффициенты и/или факториалы: $A_n^k=\frac{n!}{(n-<!--\; -\; -->k)!}=k!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}=k!{\binom {n}{k}}$  и $P_n=n!$$P_{n}=n!$ ; хотя ничего против использования этих обозначений я не имею. Maxal 22:55, 16 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Уважаемый Maxal! Главная проблема продвигаемых Вами обозначений в их недостаточной общепринятости на территории РФ, где обитает большое число пользователей этого ресурса. В итоге, пришедший по перекрёстной ссылке на страницу человек увидев \choose вместо понятного C не сразу соображает в чём дело. Если Ваши несомненно часто используемые обозначения Вам так нравятся - пользуйтесь, но раз так много считающих по-другому пожалуйста, хотя бы поднимите оговорку об отсталых обозначениях абзацем выше. Это вполне удовлетворит часть читателей тем, что не будет вносить путаницу. С уважением --Quijote 15:46, 21 ноября 2009 (UTC)Ответить[ответить]

По поводу "недостаточной общепринятости" - см. выше и ниже. А поднять оговорку выше можно, но без привнесения тавтологии. Сейчас попробую переписать шапку. Maxal 18:49, 21 ноября 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Спасибо. --Quijote 22:09, 21 ноября 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Ошибка в формулеПравить

Сумма по k должна быть от 0 до n. 193.124.208.14 05:57, 19 марта 2011 (UTC)анонимОтветить[ответить]

• Всё правильно, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$${n \choose k}=0$  при $k>n$$k>n$ . --Мышонок 14:31, 19 марта 2011 (UTC)Ответить[ответить]

• Кроме того, указанное в статье разложение верно для всех действительных n. И замена верхнего предела суммы на n для нецелых n будет ошибкой. Maxal 17:22, 19 марта 2011 (UTC)Ответить[ответить]

О "современных научных обозначениях"Править

Не надо говорить ерунду. Я закончил бауманку в 2003 году и ни разу не видел таких обозначений, на которых вы настаиваете. В большинстве русскоязычной литературы используется обозначение $C_n^k$$C_{n}^{k}$ :

• Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. М. Просвещение, 1976
• Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. М. Наука, 1975
• Математический Энциклопедический Словарь под ред. Ю.В. Прохорова. М. Российская энциклопедия, 1995.
• И. А. Шведов. Компактный курс математического анализа. Нвосиб. Изд. НГУ, 2003
• И.Л. Ерош. Дискретная математика. Комбинаторика. СПбГУАП.СПб., 2001
• О.М. Шептухина, В.В. Рисковец. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Методические указания. Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004
• И.К. Шаранхаев. Элементы дискретной математики. Улан-Удэ, изд. БГУ, 2006.

Научные статьи:

• В.В. Козлов, Н.В. Денисова. Полиномиальные интегралы геодезических потоков на двухмерном торе. Матем. сборник, 1994.
• С.Г. Колесников. О РЕГУЛЯРНЫХ СИЛОВСКИХ p–ПОДГРУППАХ ГРУПП ШЕВАЛЛЕ НАД КОЛЬЦОМ Zpm. Сибирский мат. журнал. 2006
• А. М. Кытманов, С. Г. Мысливец. О ГЛАВНОМ ЗНАЧЕНИИ ПО КОШИ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА ХЕНКИНА–РАМИРЕЗА В СТРОГО ПСЕВДОВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ПРОСТРАНСТВА Cn. Сибирский математический журнал, 2005
• А. С. ВЫДРИН, А. В. МИХАЛЕВ. Стохастические матрицы и анализ защищённости автоматизированных систем. Фундаментальная и прикладная математика, 2007
• С.И. Мармо. Метод расчета многофотонной ионизации атома водорода при надпороговых частотах. Вестник ВГУ, 2005

И т.д. - публикации любого уровня из любого раздела науки.--Vector 04:29, 21 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Во-первых, "я закончил" и "я не видел" - это не аргументы; в конце концов, если не видели - так посмотрите в списке, который я привел выше. Во-вторых, вы привели здесь в основном научно-популярные книжки и методические разработки, в то время как основу моего списка составляют научные монографии - как говорят, почувствуйте разницу. В третьих, что использовать в статьях - это личное дело авторов, тут можно долго приводить примеры тех или иных предпочтений. Чтобы не быть голословным, новый пример: недавно довелось заглянуть в сборник статей "Труды по дискретной математике" том 8 - там тоже используется $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$ .

Ну да ладно - предположим, вы меня убедили, что $C_n^k$$C_{n}^{k}$  по-прежнему популярно в русскоязычной литературе, но имеет ли смысл использовать это обозначение вместо не менее популярного $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$ , если $C_n^k$$C_{n}^{k}$  нигде больше в мире не используется? Вы пробегитесь хотя бы по статьям Биномиальный коэффициент на других языках в википедии - за парой исключений (причем скорее чернового качества) везде опять используется $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$ . Но математические обозначения и формулы - это все-таки универсальное средство передачи информации, которое не должно быть привязано лишь к одному языку. А вы настаиваете на обособленном, исключительно русском, нигде более неиспользуемом обозначении - ЗАЧЕМ?! Maxal 10:24, 21 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

И если говорить о научно-популярной литературе, то популярность $C_n^k$$C_{n}^{k}$  тоже еще под вопросом. У меня тут завалялась такая парочка брошюр:

• Ю.А. Шашкин Эйлерова характеристика, M.: Наука, 1984.
• А.Я. Хинчин Три жемчужины теории чисел, М.: Наука, 1979.
• В.А.Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. М.: МЦНМО, 2002.

в них используется обозначение $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$ . Maxal 20:03, 21 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Понимаете, математическая нотация на русском и других языках различается. Например, по-русски пишут $\mathrm{tg}x$$\operatorname {tg} \,x$ , а по-английски (и вероятно, под влиянием английского на других языках, хотя нигде кроме Википедии не видел) - $\tan <!--\; \; -->x$$\,\tan x$ . Есть и другие отличия (в обозначении гиперболических функций и т.д.). Поэтому аргумент, что мы должны использовать те же обозначения, что и в википедиях на других языках не является подходящим аргументом в данном случае. Если вас не убедил мой список, я могу привести еще столько примеров, сколько вам угодно.--Vector 11:49, 25 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Пример с $\mathrm{tg}x$$\operatorname {tg} \,x$  vs. $\tan <!--\; \; -->x$$\,\tan x$  здесь неуместен, потому что второе практически не используется в русскоязычной литературе. Напротив, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$  активно используется, в том числе в научных монографиях, статьях и научно-популярной литературе. Причем в связи с униформизацией математики (arXiv и пр.), это обозначение становится все более и более популярно, и в последние годы используется все чаще и чаще. Даже, если частота использования "традиционного" $C_n^k$$C_{n}^{k}$  в современной научной литературе примерна та же (в чем вы меня не убедили), то в виду вышесказанного предпочтение для использования в википедии все равно нужно отдать $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$ . Maxal 19:02, 25 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

В русскоязычной (не переводной) литературе частота использования $C_n^k$$C_{n}^{k}$  намного превышает частоту использования ваших обозначений, и нет никаких признаков, что эта частота уменьшается. Я вам привел в примерах современные научные статьи, учебники, монографии, методические рекомендации. Если надо - и еще приведу.--Vector 07:55, 27 декабря 2008 (UTC)Ответить[ответить]

Все ваши примеры неубедительны. Если уж так хочется использовать $C_n^k$$C_{n}^{k}$  используйте его в статье число сочетаний. А биномальный коэффициент в современной литературе - именно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$ . Maxal 04:57, 19 января 2009 (UTC)Ответить[ответить]

• Эта тема подходит для Проект:Математика/Основные понятия. Я бы остановился на обозначении $C_n^k$$C_{n}^{k}$  (как наименее громоздком).

Громодкость понятие относительное, и уж всяко не аргумент в выборе обозначений. $C(n,k)$$C(n,k)$  еще менее "громозкое", однако же его почти никто не использует. Maxal 14:50, 1 декабря 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Я бы не очень спорил бы с Вами об обозначениях. Это условность. Хочу только заметить, что $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$  занимает несколько больше места в высоту, чем $C_n^k$$C_{n}^{k}$ , и уж совсем тяжко смотрится внутри текста. Обозначение

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\binom{n}{k}$ 

лучше воспринимается во выключенной формуле. Если необходимо подчеркнуть, что мы говорим о биномиальном коэффициенте, то вполне можно использовать именно это обозначение. Только как при этом быть с тем, что в математике есть много и других нагруженных обозначений биномиальный коэффициент в точности равен числу сочетаний? Почему нельзя сэкономить на обозначениях? --OZH 17:41, 1 декабря 2009 (UTC)Ответить[ответить]

А вы пользуйтесь \textstyle, тогда он и не будет так сильно вылезать из текста: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$\textstyle {n \choose k}$ . -- X7q 18:19, 1 декабря 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Разве что — это. Но никогда не знаешь, что будет работать в Википедии. Есть, кстати, описание ограничений? --OZH 18:46, 1 декабря 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Здесь приведен большой список формул, которые точно работают, и упоминается, то движок mediawiki использует утилиту texvc для создания из них картинок. Но, вообще. ничто не мешать посмотреть на вбитую формулу в режиме предпросмотра страницы, и сразу узнать поддерживается ли она википедией. -- X7q 20:21, 1 декабря 2009 (UTC)Ответить[ответить]

"Биномиальный коэффицикент" более общее понятие чем "число сочетаний". И даже при неотрицательных целых аргументах он далеко не во всех случаях используется как "число сочетаний". А на обозначениях лучше не экономить, они должны соответствовать общепринятым в современной научной литературе. Maxal 20:12, 1 декабря 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Алгоритм вычисленияПравить

Есть ещё один алгоритм вычисления биномиальных коэффициентов. Он очень простой:
$C_n^k=n!/(k!\ast <!--\; \ast \; -->(n-<!--\; -\; -->k)!)$$C_{n}^{k}=n!/(k!*(n-k)!)$ 
где n - номер строки в треугольнике Паскаля,
k - номер коэффициента в строке,
n! - факториал.

Это очень простой способ, по сравнению с рекуррентными формулами. Предлагаю его тоже описать в статье.

• Да, забыл добавить, что эта формула выводится при разложении бинома Ньютона в ряд Тейлора. Mr.Freud 02:18, 14 июля 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• Во-первых, это формула, а не алгоритм. Чтобы сделать её алгоритмом, надо описать, как именно по ней проводятся вычисления, и оценить соответствующую вычислительную сложность. Во-вторых, эта формула уже приведена в статье. В-третьих, ваши обозначения не соответствуют принятым в статье. Maxal 05:51, 14 июля 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• С 1989 года известен и обнародован журналом "В мире науки" способ точных вычислений многозначных биномиальных коэффициентов, а не с помощью приближённой формулы Стирлинга. См. соответствующую статью С. К. Абачиева "О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах" в № 9 этого журнала за 1989 год. См. также новейшую электронную публикацию на эту тему: Абачиев С. К., Стахов А. П. Треугольник Паскаля и спектр арифметик для цифровых информационных технологий // Электронное научное издание "Науковедение". М.: ИГУПИТ, 2012, вып. 4 (13). Об этом Википедия, несомненно, должна информировать. Bogotol 08:17, 22 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]
• Не должна. Рецензии на эту статью есть и цитируемость? Попробуйте описать этот способ в отдельной статье. Климова 18:51, 22 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]
• Существуют десятки тысяч публикаций на темы, связанные с треугольником Паскаля, почему Вы упорно требуете добавить именно эту, никому не известную и не цитируемую в серьезных журналах? Климова 18:58, 22 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]
• Вы уже и здесь, г-жа Климова? Это Вы систематически вычёркиваете мои вставки в статьях о треугольнике Паскаля и о треугольнике Серпинского? А я буду их вставлять. Чья возьмёт? Как в концовке фильма "Дом, в котором я живу": "Я буду закрывать дверь". - "А я буду стучаться, пока не откроешь". Дайте же в конце концов другим участникам Википедии посмотреть месячишко на мои вставки и сделать свои выводы!" Bogotol 19:51, 22 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]
• На моей стороне правила Википедии, поэтому скорее всего Вы будете заблокированы. Климова 07:00, 23 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]
• Это называется так: аргументов нет и в ход идут кулаки. Bogotol 08:38, 23 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

  Это называется в Википедии существуют правила. Скажите, пожалуйста, есть другие источники информации, кроме аффилированных? — Wald. 09:08, 23 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• Публикация С. К. Абачиева в журнале "В мире науки" не аффилированная. У "Scientifc American" уже полуторавековая традиция освещать только квинтэссенцию уже доказательно обоснованных научных знаний. И его переводные версии во всём мире не имеют права нарушать эту традицию, пропагандируя что-либо маргинальное. У русскоязычного "В мире науки" в 80-х годах вообще был лимит всего на две публикации советских авторов в год. У Абачиева в творческом активе подлиное современное открытие в области комбинаторики, которое наилучшим образом удостоверяется самим фактом его элитной публикации 1989 года с авторитетных санкций Я. А. Смородинского, Я. Г. Синая, С. П. Капицы и Ю. А. Данилова. А уж в только что опубликованной статье в электронном ВАКовском журнале "Науковедение" С. К. Абачиев и А. П. Стахов представляют числовые фракталы треугольника Паскаля в полной мере. Уважаемый Wald, прошу Вас лично в этом убедиться. Возможность точного вычисления многозначных биномиальных коэффициентов на основе числовых фракталов треугольника Паскаля доказательно обоснована по всем статьям, да ещё к тому же и с геометрической наглядностью. И речь идёт всего-то о том, чтобы в Википедии одним предложением указать на наличие такого нового метода и на соответствующий источник информации! А уж выявлять потенциальные применения этих особо точных расчётов в теории вероятностей, в физической и химической кинетике или в теории информации - не дело Википедии. Bogotol 10:37, 23 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

  В Википедии термин «маргинальная теория» используется в очень широком смысле, означая идеи, которые существенно расходятся с общепринятыми концепциями в той или иной области, популяризация маргинальных теорий нежелательна, см. ВП:МАРГ. Указанные новейшие открытия в комбинаторике подходят под определение. Значимость и распространенность должна быть подтверждена авторитетными независимыми источниками, по крайней мере в одной крупной публикации или в работах автора/группы авторов, не входящих в число создателей этой теории. Публикаций С. К. Абачиева и А. П. Стахова недостаточно. — Wald. 11:50, 23 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• Вот этот "очень широкий смысл" понятия маргинальности научных результатов и опасен, как и все "очень широкие смыслы". Это - закон науки логики. (Это особено опасно, когда "очень широкие смыслы" ещё и пытаются задушить корсетами формальных критериев.) О какой маргинальности фракталов Абачиева может идти речь, когда он учётом степеней простых делителей просто выявил их полную структуру? В частности, объясните, в чём конкретно цветографические схемы Абачиева "существенно расходятся с общепринятыми концепциями в той или иной области", по Вашему выражению? Картинки по теме "треугольник Паскаля" в Интернете завалены этими фракталами и ссылками на сотни соответствующих научных публикаций, только без давным-давно и полностью выявленной Абачиевым внутренней структуры этих фракталов. Для простого делителя 2 они также без выявления внутренней структуры представлены в книге М. Гарднера, на которую Википедия ссылается "без проблем". Уважаемый Wald, проработайте, пожалуйста, статью Абачиева и Стахова. Здесь вообще не о чем спорить: всё доказано уже без малого четверть века тому. И "В мире науки" покойного С. П. Капицы - солидный источник. Повторяю, речь-то идёт о единственной строке, указывающей на новый точный метод вычисления биномиальных коэффициентов, который должен быть общеизвестен, чему Википедия и должна способствовать "по определению". Чего ради Википедия уже четвёртый год упорно делает из давнего и "элитно" обнародованного открытия Абачиева тайну? И чем его статья во "В мире науки" хуже параграфа М. Гарднера "Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля" из его знаменитой научно-популярной книги? И чем она хуже статьи Г. Чейтина "Случайность в арифметике" в том же "В мире науки" № 9 за 1988 год, в которой фрактал треугольника Паскаля для делителя 2 также представлен только внешними контурами? Уж не тем ли, что Абачиев не так популярен в математике, как Гарднер и Чейтин? Bogotol 18:41, 23 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

  Википедия не должна способствовать продвижению неизвестных идей; критериями размещения сведений является их значимость и распространенность, которая показывается независимыми источниками. Таковы правила. Если схемы Абачиева существенно не расходятся с общепринятыми концепциями, привести другие независимые источники не составило бы труда, однако они в отношении нового метода вычисления не приведены. Но если работа Абачиева повторяет выводы Хайтина, Гарднера, тогда, конечно, предпочтение работам известных математиков в качестве источников информации. — Wald. 08:50, 24 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• Речь идёт не о продвижении Википедией открытия в комбинаторике, которому уже более 30 лет, но только о том, чтобы Википедия одной новой строчной и с одной новой ссылкой проинформировала о наличии метода точного вычисления многозначных биномиальных коэффициентов там, где используется приближённый метод на основе формулы Стирлинга. Как и всякая энциклопедия, Википедия должна эффективно информировать о том, что в науке давно и доказательно обосновано. И ссылка Википедии на соответствующую статью "В мире науки" не менее законна, чем "беспроблемная" ссылка на параграф из "Математических досугов" Гарднера. Без авторитетной санкции упоминавшихся ведущих московских физиков и математиков статья Абачиева в журнале "В мире науки" не могла бы в своё время состояться. Вот Вам и неаффелированность этого источника информации. А в том, что числовые фракталы Абачиева не повторяют числовых фракталов у Гарднера и Хайтина, убедиться проще простого. Несколько щелчков компьютерной мышкой - и перед Вами эти радужные числовые фракталы из статьи Абачиева и Стахова в 4-м выпуске ВАКовского Интернет-журнала "Науковедение" за 2012 год. Заодно нагляднейшим образом убедитесь в том, что всё до Абачиева известное о числовых фракталах треугольника Паскаля и фигурирующее в картинках к статьям "Треугольник Паскаля" и "Треугольник Серпинского" "скользит по поверхности". Bogotol 11:56, 24 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

  Не надо так делать [1], разметка служит для удобочитаемости. Предлагаю вернуть статью к консенсусной версии. Значимость сведений не подтверждена независимыми источниками, равно как и мнение об «авторитетных санкциях» и «скользит по поверхности», поэтому пока речь о малоизвестной и не получившей признания идее, и нежелательности её популяризации в Википедии. — Wald. 14:12, 24 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• Консесуальная версия статьи, по здравой логике, - это версия "Читать". А текущая версия открыта для правок - смелых, но обоснованных. И мотыльковый век, определённый концепцией Википедийного консенсуса для правок в текущих версиях, вряд ли должен считаться строгим регламентом. Что мешает добротно обоснованную версию правки подержать месяц-другой для информирования участников Википедии? Bogotol 13:25, 26 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• Уважаемый Wald! Обращаю Ваше внимание на то, что наука с 60-70-х годов 20 века, ко всему прочему, переживает "информационный взрыв". Уже тогда положение не спасал даже богатый спектр специализированных реферативных журналов: 60-70% научных публикаций оставались не то что не востребованными специалистами, но и неведомыми им. А уж в нынешнюю-то эпоху оперативных электронных публикаций разной научной добротности этот информационный взрыв и вовсе превратился в сущий информационный Всемирный потоп. Так что, в таких условиях публикация Абачиева во "В мире науки" вульгарно забыта, а его новейшая соавторская электронная публикация в "Науковедении" - это капля в оном информационном Всемирной потопе. И ждать удовлетворения этого давнего открытия всем излишне формальным требованиям Википедии придётся неопределённо долго. Это - серьёзнейшее объективное обстоятельство, которое пока не учитывается формальными требованиями Википедии. (Над этими требованиями надо бы серьёзно поработать и профессиональным науковедам.) Впрочем, можно дожидаться момента, когда открытие Абачиева будет переоткрыто кем-то другим с высоким научным авторитетом, с соответствующими чином и званием. Но нормально ли это, когда давно и доказательно обоснованное открытие уже сейчас может работать в качестве точного вычислительного метода? Предлагаю воздержаться от немедленных "оргвыводов" по поводу его судьбы в Википедии и оставить мою соответствующую вставку в текущей версии статьи. Пусть по этому поводу выскажется более широкий круг участников Википедии. Спешка в таком серьёзном и спорном деле ни к чему. Будем в этом обсуждении подражать духу дискуссий в академической науке, которая никуда не торопится. Bogotol 16:53, 24 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

  Для нас имеют значения существующие требования к содержанию статей. В подтверждение информации приведен аффилированный малой авторитетности источник. Первенство «открытия» в любом случае сохранится в истории правок, но по правилам ведение войн правок недопустимо, и при возражениях приоритет имеет довоенная версия. — Wald. 15:15, 25 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• Худо то, что возвращающие текущую версию статьи к "довоенному" состоянию скоропалительны в своих удалениях, игнорируют мою аргументацию и не обращаются к общедоступной электронной статье Абачиева и Стахова. Bogotol 15:41, 26 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]
• Уважаемый Wald! И ещё - насчёт "скольжения по поверхности" всего, известного до Абачиева о числовых фракталах треугольника Паскаля. Это - аргумент и аргумент сильный. И былые авторитетные санкции Смородинского, Синая, Капицы и Данилова ещё какие авторитетные, независимые и заведомо неаффилированные. Обратитесь же непосредственно к статье Абачиева и Стахова в "Науковедении"! Вам всё станет ясно, как Божий день. И не торопите события со снятием моих вставок с текущей версии статьи. Пусть как можно больше участников Википедии со всем этим ознакомится и предложит свои выводы. А то обсуждения ассоциируются с известным дореволюционным анекдотом: "Вот, все говорят - Шаляпин, Шаляпин... А что в этом Шаляпине? Ничего особенного". - "А Вы его слышали?" - "А зачем? Мне Рабинович напел". Прокомментирую и такие Ваши слова: "Если схемы Абачиева существенно не расходятся с общепринятыми концепциями, привести другие независимые источники не составило бы труда, однако они в отношении нового метода вычисления не приведены." Метод точных вычислений многозначных биномиальных коэффициентов со всей очевидностью вытекает из самих числовых фракталов Абачиева. Последние неопровержимо обоснованы тем, что рассчитываются на основе общеизвестной рекуррентной формулы для биномиальных коэффициентов. Об этих числовых фракталах Википедии надо только дать информацию и не более того. Их остаётся только свести в таблицы для точного представления многозначных биномиальных коэффициентов в форме канонического произведения простых делителей или создать на их основе соответствующие алгоритмы компьютерных расчётов. Bogotol 06:12, 25 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

Раз Вы признаёте, что публикация "В мире науки" забыта, и цитируемости и известности у указанных работ никакой нет, лишнюю информацию из статьи убираю. Климова 19:12, 24 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• А кто Вам, Климова, даёт на это право? Вот Вас точно надо заблокировать! Вы проявляете вопиющее неуважение к другим участникам обсуждения. В текущей версии статьи моя вставка имеет право на многомесячное присутствие. На то она и текущая версия. Она для всех участников Википедии, а не лично для Вас. Вы подменяете правило Википедии "правь смело" практикой бесцеремонных правок. Если статья С. К. Абачиева, авторитетно санкционированная ведущими московскими физиками и математиками, забыта, то о ней не грех и напомнить. Логика Ваших вымарываний - это логика Короля из "Обыкновенного чуда": кто-то (или что-то) нравится (не нравится) мне, следовательно, и всем нам. Прекратите свой вопиющий произвол! Элементарно уважайте право других участников обсуждения получать новую информацию и предлагать свои "оргвыводы" относительно этой новой информации. Bogotol 19:24, 24 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

• Призываю участников обсуждения этого дискуссионного вопроса в первую очередь обращаться непосредственно к электронной статье Абачиева и Стахова в "Науковедении". Убедитесь, как оптимальная, цветогроафическая геометризация проблемы простых делителей в треугольнике Паскаля элементарно объясняет всё, что представлено в параграфе "Делимость". Здесь имеет место извечный ценностный конфликт в математике "левополушарного" одномерного логического дискурса с целостным и наглядным "правополушарным" геометризованным подходом. Я со своей стороны прекращаю "войну правок". Мне она отнюдь не в радость. Будем стремиться к консенсусу на странице обсуждений. Только бы побольше участников Википедии включалось в это обсуждение, отправляяь, прежде всего, от общедоступной статьи в "Науковедении". Это - совершенно особый случай. Формальные критерии "Википедии" здесь дают осечку по основным позициям: по вопросу о маргинальности открытия Абачиева; по авторитетности журнала "В мире науки"; по авторитетности и заведомой неаффилированности позиции ведущих московских физиков и математиков, которые в 1989 г. рекомендовали статью Абачиева в журнал "В мире науки". И ещё: данное обсуждение не имеет никакого отношения к популяризации математики гармонии А. П. Стахова в соответствующей статье Википедии, сохранение которой остаётся под вопросом. Судя по вопиюще рекламному стилю первого варианта той статьи, она была выложена в Интернет не в меру ретивыми поклонниками Стахова без его ведома, как и статья о нём. (Разве что на Нобелевскую премию Стахова не сподобились выдвинуть!) Эти поклонники не имеют представления не то что о правилах Википедии, но и вообще о том, как надо представлять справочные "выжимки" из научных результатов. Сам Стахов как маститый учёный себя так подать не мог. Тема, которая обсуждается здесь, сугубо частная и к страстям вокруг статей "Математика гармонии" и "А. П. Стахов" не имеет никакого отношения. Bogotol 12:14, 26 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]
• P. S. Статья С. К. Абачиева и А. П. Стахова в "Науковедении" находится в контексте пропаганды математики гармонии. Но в связи с этим обсуждением в ней важны только параграф 8 "Числовые фракталы треугольника Паскаля" и параграф 9 "Аналитический расчёт многоцветной гармонии треугольника Паскаля. Стимулирующий парадокс его числовых фракталов". Темы этих параграфов совершенно автономны. В них представлены результаты Абачиева из его "бумажной" статьи во "В мире науки", но с полнотой и качеством его цветографических схем, которые обеспечиваются современными возможностями электронных публикаций в Интернете. Генерации диагональными суммами чисел треугольника Паскаля двоичного ряда, ряда Фибоначи и его обобщений Стаховым, связь этих генераций со стаховской алгоритмической теорией измерений - это особая тема. Всё это связывает треугольник Паскаля с проблематичной математикой гармонии как научным направлением, но всё это должно "выноситься за скобки" в обсуждении закрепления в Википедии числовых фракталов Абачиева. Bogotol 15:32, 26 декабря 2012 (UTC)Ответить[ответить]

Перенесено на страницу Википедия:К посредничеству/Неакадемичность/Запросы к администраторам#Bogotol.

Ошибки в формулахПравить

В изображении для треугольника Паскаля, значение степеней для аргументов "a" и "b" перепутаны местами, достаточно легко это проверить на формуле бином Ньютона 92.252.159.252 21:54, 9 мая 2013 (UTC)ОбывательОтветить[ответить]

Это не ошибка, так как разложение симметрично относительно a и b. Maxal 11:56, 12 мая 2013 (UTC)Ответить[ответить]

Ошибки в формулах 2Править

Мне кажется, что здесь вместо $1<k<n+1$  должно быть $0<k<n+1$ . (ссилка)

• $\underset{j=k}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(-<!--\; -\; -->1{)}^j=(-<!--\; -\; -->1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-<!--\; -\; -->1}{k-<!--\; -\; -->1})$$\sum_{j=k}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j = (-1)^k \binom{n-1}{k-1}$  для $1<k<n+1$ .--Дем'ян 15:56, 19 мая 2013 (UTC)Ответить[ответить]

Неточность в первой формулеПравить

взял на себя смелость поправить первую формулу, там в правой части в сумме была указана бесконечность, а в левой заканчивалось многоточием, что на мой взгляд не совсем верно раз уж указывается конкретная степень n. было

$(1+x{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2+\dots <!--\; \dots \; -->=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k,$$(1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k},$ 

стало

$(1+x{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2+\dots <!--\; \dots \; -->+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k,$$(1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2}+\ldots +{\binom {n}{n}}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k},$ 

77.238.236.120 12:53, 18 февраля 2014 (UTC) ЗангиевОтветить[ответить]

• Спасибо. Удивительно, что столько времени это никто не замечал... --Bopsulai 16:58, 18 февраля 2014 (UTC)Ответить[ответить]
• Ваше конечная формула не верна для ненатуральных n. Вернул правильное разложение в ряд. Maxal 14:11, 6 апреля 2014 (UTC)Ответить[ответить]

  Имхо странновато выглядит сочетание конечной суммы слева с бесконечной правее. Я так понимаю, это из-за того, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$${\binom {n}{k}}=0$  при k>n ? Тогда не лучше ли где-нибудь поблизости это пояснить, чтобы не так резало глаз и не было желания у граждан это исправить?--Bopsulai 21:01, 6 апреля 2014 (UTC)Ответить[ответить]

  Там нет "конечной суммы слева". Пояснение добавил. Maxal 23:08, 7 апреля 2014 (UTC)Ответить[ответить]

  Спасибо, теперь, думаю, вопросов не возникнет. --Bopsulai 05:34, 8 апреля 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Незавершенные разделыПравить

Разделы "Основные тождества", "Бином Ньютона и следствия", "Свёртка Вандермонда и следствия". 1) Можно добавить пояснения о переменных m, n, k, a, какие могут быть произвольными действительными, какие только целые. 2) Можно добавить некоторые текстовые пояснения. Mx1024 (обс.) 07:41, 22 февраля 2017 (UTC)Ответить[ответить]

Ошибка в формуле для асимптотикиПравить

Потерян квадратный корень в формуле

$C_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}n}\sim <!--\; \sim \; -->\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})n}}{\left(\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}n}{\left(\frac{1}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}^{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})n}={\left(\frac{1}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}^{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}}+o(1)\right)}^n$$C_{n}^{{\alpha n}}\sim {\sqrt {{\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}}\left({{\frac {1}{\alpha }}}\right)^{{\alpha n}}\left({{\frac {1}{1-\alpha }}}\right)^{{(1-\alpha )n}}=\left({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{{(1-\alpha )}}}}+o(1)}\right)^{{n}}$ .

Эта формула состоит из трёх частей: левой, средней и правой. В средней части есть квадратный корень, а в правой части он потерян. Его надо просто добавить туда. Вот так:

$C_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}n}\sim <!--\; \sim \; -->\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})n}}{\left(\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}n}{\left(\frac{1}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}^{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})n}=\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})n}}{\left(\frac{1}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}^{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}}+o(1)\right)}^n$$C_{n}^{\alpha n}\sim {\sqrt {\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\alpha n}\left({\frac {1}{1-\alpha }}\right)^{(1-\alpha )n}={\sqrt {\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}\left({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{(1-\alpha )}}}+o(1)}\right)^{n}$ 

Я проверял эту формулу для $n=35$$n=35$ , $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=4/35$$\alpha =4/35$ . Истинное значение даёт: 52360; формула с корнем даёт: 53476.4; формула без корня даёт: 252306.9. Отсюда видно, что формула без корня это совсем плохая аппроксимация, из чего я делаю вывод, что корень просто потеряли, а не выкинули его ради какой-то цели.

Кроме того, "$o(1)$$o(1)$ " в последней формуле стоит неправильно, но я сейчас не готов давать окончательную правку на эту тему. Но всё-таки давайте подумаем, вот смотрите: левое равенство-эквивалентность "$\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ " уже говорит, что средняя часть аппроксимирует левую часть (т.е. их дробь стремится к 1 при больших $n$$n$ ), так что нет нужды добавлять ещё какую-то аппроксимацию в правую часть в виде "$o(1)$$o(1)$ ". Если автор хотел сказать, что-то про характер погрешности приведённой в статье аппроксимации, то, кажется, "$o(1)$$o(1)$ " в приведённом виде даёт это неправильно. Надо, чтобы кто-то внимательно это посмотрел. Но мне кажется (хотя я и не настаиваю), что проще было бы убрать отсюда "$o(1)$$o(1)$ " из правой части, и при этом формула хуже не станет, а станет понятнее и вернее.

В общем, я предлагаю записать формулу так:

$C_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}n}\sim <!--\; \sim \; -->\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})n}}{\left(\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}n}{\left(\frac{1}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}^{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})n}=\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})n}}{\left(\frac{1}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}^{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}}\right)}^n$$C_{n}^{\alpha n}\sim {\sqrt {\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\alpha n}\left({\frac {1}{1-\alpha }}\right)^{(1-\alpha )n}={\sqrt {\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}\left({\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{(1-\alpha )}}}\right)^{n}$ 

а ещё лучше так:

$C_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}n}\sim <!--\; \sim \; -->\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}n}}{\left(\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}n}{\left(\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}n}=\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}n}}{\left(\frac{1}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}\right)}^n$$C_{n}^{\alpha n}\sim {\sqrt {\frac {1}{2\pi \alpha \beta n}}}\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\alpha n}\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{\beta n}={\sqrt {\frac {1}{2\pi \alpha \beta n}}}\left({\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{\beta }^{\beta }}}\right)^{n}$ , где мы положили $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\beta =1-\alpha$ .

Pancar (обс.) 18:58, 26 мая 2020 (UTC)Ответить[ответить]

Неточность в разделе "Производящие функции"Править

В данном разделе приведена формула

$\underset{n,k}{\sum <!--\; \sum \; -->}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^n=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->y-<!--\; -\; -->xy},$$\sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}},$ 

где не указаны границы. И из-за этого я подумала, что пары индексов пробегают всё множество $(\mathbb{N}\cup <!--\; \cup \; -->\{0\}{)}^2$$(\mathbb {N} \cup \{0\})^{2}$ . А потом в статье "Сочетание" оказалось, что сумма должна выглядеть так:

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^n.$$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}.$ 

И я уже почти готова приписать границы суммы и исправить эту неточность, но не могу найти источники.
Mylania⁽^-^⁾ (обс., вкл.) 18:25, 25 мая 2021 (UTC)Ответить[ответить]

При k>n $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$${\binom {n}{k}}=0$ , поэтому неточности здесь нет. — Bopsulai (обс.) 18:36, 25 мая 2021 (UTC)Ответить[ответить]

А, точно, согласна. Теперь найти бы источники или хотя бы дать доказательство.

Mylania⁽^-^⁾ (обс., вкл.) 18:58, 25 мая 2021 (UTC)Ответить[ответить]