Оболочка Мандельброта

Оболочка Мандельброта — трёхмерный фрактал, аналог множества Мандельброта, созданный Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером с использованием гиперкомплексной алгебры, основанной на сферических координатах. Назван в честь создателя фрактальной геометрии Бенуа Мандельброта.

Изображение множества, полученное трассировкой лучей

Формула для n-й степени трёхмерного гиперкомплексного числа $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y,z⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle x,y,z\rangle$ следующая:

$⟨<!--\; ⟨\; -->x,y,z{⟩<!--\; ⟩\; -->}^n=r^n⟨<!--\; ⟨\; -->\cos <!--\; \; -->(n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\cos <!--\; \; -->(n\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}),\sin <!--\; \; -->(n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\cos <!--\; \; -->(n\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}),\sin <!--\; \; -->(n\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})⟩<!--\; ⟩\; -->,$$\langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle ,$

где

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan(y/x),\\\phi &=\arctan \left(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=\arcsin(z/r).\end{aligned}}$

Была использована итерация $z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->z^n+c$$z\mapsto z^{n}+c$, где z и c — трёхмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше. Для n > 3 результатом является трёхмерный фрактал. Чаще всего используется восьмая степень.

СсылкиПравить

•   На Викискладе есть медиафайлы по теме Оболочка Мандельброта
• Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal
• Рендерер фракталов с открытым кодом, с помощью которого можно создавать изображения оболочки Мандельброта