Обобщённый метод моментов

Обобщённый ме́тод моме́нтов (ОММ; англ. GMM — Generalized Method of Moments) — метод, применяемый в математической статистике и эконометрике для оценки неизвестных параметров распределений и эконометрических моделей, являющийся обобщением классического метода моментов. Метод был предложен Хансеном в 1982 году. В отличие от классического метода моментов количество ограничений может быть больше количества оцениваемых параметров.

Сущность методаПравить

Пусть распределение случайного вектора x зависит от некоторого вектора неизвестных параметров b (количество параметров — k). Пусть также имеются некоторые функции g(x, b) (их количество q не меньше числа оцениваемых параметров), называемые моментными функциями (или просто моментами), для которых из теоретических соображений предполагается, что

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$$m(b)=E[g(x,b)]=0.$ 

Базовая идея метода моментов заключается в использовании в моментных условиях вместо математических ожиданий их выборочные аналоги — выборочные средние

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{m}(b)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x,b)},$${\hat {m}}(b)=\overline {g(x,b)},$ 

которые согласно закону больших чисел при достаточно слабых условиях должны асимптотически сходится к математическим ожиданиям. Поскольку количество условий на моменты в общем случае больше количества оцениваемых параметров, то однозначного решения эта система ограничений не имеет.

Обобщённым методом моментов (ОММ) называется оценка минимизирующая положительно определённую квадратичную форму от выборочных условий на моменты, в которых вместо математических ожиданий используются выборочные средние:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{GMM}=\arg <!--\; \; -->\underset{b}{min}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{m}(b{)}^{T}W\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{m}(b),$${\hat {b}}_{{GMM}}=\arg \min _{{b}}{\hat {m}}(b)^{T}W{\hat {m}}(b),$ 

где W — некоторая симметрическая положительно определённая матрица.

Весовая матрица может быть произвольной (с учётом положительной определённости), однако доказано, что наиболее эффективными являются GMM-оценки с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице моментных функций $W=V_g^{-<!--\; -\; -->1}$$W=V_{g}^{{-1}}$ . Это так называемый эффективный GMM.

Однако, поскольку на практике эта ковариационная матрица неизвестна, то применяют двухшаговую процедуру (двухшаговый GMM — Хансен, 1982 г.):

Шаг 1. Оцениваются параметры модели с помощью GMM с единичной весовой матрицей.

Шаг 2. По выборочным данным и найденным на первом шаге значениям параметров оценивают ковариационную матрицу моментных функций ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_g=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x,\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b})g(x,\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}{)}^T}$${\hat {V}}_{g}=\overline {g(x,{\hat {b}})g(x,{\hat {b}})^{T}}$  и используют полученную оценку в эффективном GMM.

Эту двухшаговую процедуру можно продолжить (итеративный GMM): используя оценки параметров модели на втором шаге ковариационная матрица моментов оценивается снова и повторно применяется эффективный GMM и т. д. итеративно до достижения требуемой точности.

Также возможен подход к численной минимизации целевой функции ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{m}}^T(b){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_g^{-<!--\; -\; -->1}(b)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{m}(b)$${\hat {m}}^{T}(b){\hat {V}}_{g}^{{-1}}(b){\hat {m}}(b)$  по неизвестным параметрам $b$$b$ . Тем самым одновременно оцениваются и параметры и ковариационная матрица. Это так называемый непрерывно обновляемый (Continuously Updated) GMM (Хансен, Хитон, Ярон, 1996 год).

Свойства методаПравить

Оценки обобщённого метода моментов при достаточно слабых условиях являются состоятельными, асимптотически нормальными, а оценки эффективного GMM являются также асимптотически эффективными. Можно показать, что

$\sqrt{n}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{GMM}-<!--\; -\; -->b)\stackrel{d}{\to }N(0,V_b).$${\sqrt {n}}({\hat b}_{{GMM}}-b){\xrightarrow {d}}N(0,V_{{b}}).$ 

В общем случае

$V_b=(G^{T}WG{)}^{-<!--\; -\; -->1}{G}^{T}W{V}_{g}WG(G^{T}WG{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$V_{{b}}=(G^{T}WG)^{{-1}}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{{-1}}$ 

где G-математическое ожидание матрицы первых производных g по параметрам. В случае эффективного GMM формула ковариационной матрицы существенно упрощается:

$V_b=G^T{V}_g^{-<!--\; -\; -->1}G.$$V_{b}=G^{T}V_{g}^{{-1}}G.$ 

J-тестПравить

При использовании GMM важным тестом является тест на сверхидентифицирующие ограничения (J-тест). Нулевая гипотеза заключается в том, что условия (ограничения) на моменты имеют место (то есть предположения модели верны). Альтернативная — что они неверны.

Статистика теста равна значению целевой функции GMM, умноженному на количество наблюдений. При нулевой гипотезе

$J=n{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{m}}^T(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_g^{-<!--\; -\; -->1}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{m}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b})\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(q-<!--\; -\; -->k).$$J=n{\hat {m}}^{T}({\hat {b}}){\hat {V}}_{g}^{{-1}}{\hat {m}}({\hat {b}})~{\xrightarrow {d}}~\chi ^{2}(q-k).$ 

Таким образом, если значения статистики больше критического значения распределения ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(q-<!--\; -\; -->k)$$\chi ^{2}(q-k)$  при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются (модель неадекватна), в противном случае модель признается адекватной.

См. такжеПравить

• Метод моментов
• Метод наименьших квадратов
• Метод инструментальных переменных
• Метод максимального правдоподобия

ЛитератураПравить

• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.