Обобщённый интеграл энергии

Обобщённый интеграл энергии — интеграл уравнений Лагранжа голономной механической системы в случае не зависящей от времени функции Лагранжа. Также называется интегралом Якоби. Всегда существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени не зависит^[1].

ФормулировкаПравить

Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0$

имеют обобщённый интеграл энергии^[2]:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $h=\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L$

ВыводПравить

Рассмотрим голономную систему, имеющую $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $s$ степеней свободы, с функцией Лагранжа

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L=L(q_{m},{\dot {q}}_{m},t)$ ,

зависящей от обобщённых координат $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $q_{m}$ , обобщённых скоростей $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\dot {q}}_{m}$ и времени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t$ , здесь и ниже всюду $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m=1,2,...,s$ .

Дифференцируя по времени функцию $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L(q_{m},{\dot {q}}_{m},t)$ , получаем

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}$ .

Из уравнений Лагранжа

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0$

следует, что

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)$ .

Тогда получаем:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right){\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}\right)$ .

Пользуясь этим, имеем:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial t}}$

Или:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}=0$ .

Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L\right)=0$