Обобщённая формула Гаусса — Бонне

Обобщенная формула Гаусса — Бонне — интегральная формула, выражающая эйлерову характеристику замкнутого чётномерного риманова многообразия через его кривизну. Это прямое обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.

ИсторияПравить

Обобщённая формула Гаусса — Бонне была доказана независимо и почти одновременно Вейлем и Аллендорфером для замкнутых римановых многообразий, допускающих изометричные вложения в евклидово пространство. (Идея доказательства состояла в подсчёте степени Гауссова отображения гиперповерхности образованной границей малой трубчатой окрестности данного подмногообразия.) На этот момент не было известно все ли многообразия допускают такие вложения — теорема Нэша о регулярных вложениях была доказана только в 1956 году.

В 1945 году, Черн обобщил формулу на случай всех римановых многообразий.

ФормулировкаПравить

Пусть $M$$M$  — компактное ориентируемое 2n-мерное риманово многообразие без края, и $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — его форма кривизны. Заметим, что форма $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  может рассматриваться как кососимметричная матрица, чьи компоненты являются 2-формами на $M$$M$ . В частности, $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — это матрица над коммутативным кольцом

${\bigwedge <!--\; \bigwedge \; -->}^{\text{чёт}}{T}^{\ast <!--\; \ast \; -->}M.$$\bigwedge \nolimits ^{\text{чёт}}T^{*}M.$ 

Поэтому можно посчитать её пфаффиан $\mathrm{Pf}<!--\; \; -->(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$\operatorname {Pf} (\Omega )$ , который является 2n-формой.

Обобщенная формула Гаусса — Бонне может быть записана как

$\underset{M}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{Pf}<!--\; \; -->(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})=(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^n\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(M)$$\int \limits _{M}\operatorname {Pf} (\Omega )=(2\pi )^{n}\chi (M)$ ,

где $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(M)$$\chi (M)$  обозначает эйлерову характеристику $M$$M$ .

ПримерыПравить

• В размерности 2 формула превращается в обычную формулу Гаусса — Бонне
• В размерности четыре формулу можно переписать следующим удобным способом:

  $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(M)=\frac{1}{32{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}\underset{M}{\int <!--\; \int \; -->}\left(|\mathrm{R}\mathrm{m}{|}^2-<!--\; -\; -->4|\mathrm{R}\mathrm{c}{|}^2+{\mathrm{R}}^2\right)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int \limits _{M}\left(|\mathrm {Rm} |^{2}-4|\mathrm {Rc} |^{2}+\mathrm {R} ^{2}\right)d\mu$ ,

где $\mathrm{R}\mathrm{m}$$\mathrm {Rm}$  — это полный тензор кривизны, $\mathrm{R}\mathrm{c}$$\mathrm {Rc}$  — тензор Риччи, и $\mathrm{R}$${\mathrm {R}}$  — скалярная кривизна.

См. такжеПравить

• Число Понтрягина
• Класс Понтрягина