Обнаружение сигнала

Обнаружение сигнала — задача оптимального приёма сигналов.

Допустим, что в принятом сигнале $r(t)$$r(t)$ может присутствовать или отсутствовать сигнал $s(t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$s(t,\lambda )$, то есть принимаемый сигнал $r(t)$$r(t)$ равен $r(t)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}s(t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})+n(t)$$r(t)=\alpha s(t,\lambda )+n(t)$, где случайная величина $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ может принимать значения 0 (сигнал отсутствует) или 1 (сигнал присутствует); $s(t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$s(t,\lambda )$ — наблюдаемый на интервале наблюдения [$0,T$$0,T$] детерминированный сигнал. При решении задачи обнаружении сигнала необходимо определить наличие сигнала $s(t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$s(t,\lambda )$ в $r(t)$$r(t)$, то есть оценить значение параметра $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$. При этом возможны два варианта. Априорные данные — вероятности $p_p$$p_{p}$${}_r(t,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0)$$_{r}(t,\alpha =0)$ и $p_p$$p_{p}$${}_r(t,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1)$$_{r}(t,\alpha =1)$ — могут быть известны или нет.

Сформулированная задача обнаружения сигнала является частным случаем общей задачи статистической проверки гипотез . Гипотезу об отсутствии сигнала будем обозначать $H_0$$H_{0}$, а гипотезу о наличии сигнала — $H_1$$H_1$.

Если априорные вероятности $P_{pr}(H_0)$$P_{pr}(H_{0})$ и $P_{pr}(H_1)$$P_{pr}(H_{1})$ известны, то можно использовать критерий минимума среднего риска (байесовский критерий) $R$$R$:

$R=\underset{i,k=0}{\overset{1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{P}_{pr}(H_i)Q_{ik}\underset{X_k}{\int <!--\; \int \; -->}W(x|H_i)dx$$R=\sum _{i,k=0}^{1}P_{pr}(H_{i})Q_{ik}\int \limits _{X_{k}}W(x|H_{i})dx$,

где {$Q_{ik}$$Q_{ik}$} — матрица потерь, а $W(x|H_i)$$W(x|H_{i})$ — функция правдоподобия выборки наблюдаемых данных, если предполагается истинность гипотезы $H_i$$H_i$.

В этом случае, если априорные вероятности $P_{pr}(H_0)$$P_{pr}(H_{0})$ и $P_{pr}(H_1)$$P_{pr}(H_{1})$ неизвестны, то с пороговым значением $h_0$$h_{0}$ сравнивается отношение правдоподобия $l_0$$l_{0}$:

$l_0=\frac{F(r|H_1)}{F(r|H_0)}=exp(\frac{2}{N}\underset{0}{\overset{T}{\int <!--\; \int \; -->}}r(t)s(t)dt-<!--\; -\; -->E/N)$$l_{0}={\frac {F(r|H_{1})}{F(r|H_{0})}}=exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)$,

где E — энергия сигнала, а N — односторонняя спектральная плотность гауссовского аддитивного белого шума. Если $l_0>h_0$$l_{0}>h_{0}$, то принимаете гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [$0,T$$0,T$].

Если априорные вероятности $P(H_0)$$P(H_{0})$ и $P(H_1)$$P(H_{1})$ известны, то решение о наличии сигнала принимается на основе сравнения отношения апостериорных вероятностей $l_1$$l_{1}$ с некоторым пороговым значением $h_1$$h_1$  :

$l_1=\frac{P_{ps}(H_1)}{P_{ps}(H_0)}=\frac{P_{pr}(H_1)}{P_{pr}(H_0)}exp(\frac{2}{N}\underset{0}{\overset{T}{\int <!--\; \int \; -->}}r(t)s(t)dt-<!--\; -\; -->E/N)$$l_{1}={\frac {P_{ps}(H_{1})}{P_{ps}(H_{0})}}={\frac {P_{pr}(H_{1})}{P_{pr}(H_{0})}}exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)$

Если $l_1>h_1$$l_{1}>h_{1}$, то принимается гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [$0,T$$0,T$].

Задача обнаружения часто встречается в радиолокации и других областях радиотехники.

См. такжеПравить

• Теория обнаружения сигнала