Точная верхняя и нижняя границы

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точная верхняя и нижняя грани множества $X$$X$ обычно обозначаются $supX$$\sup X$ (читается супремум икс) и $infX$$\inf X$ (читается инфимум икс) соответственно.

Используемые определенияПравить

Мажоранта, или верхняя грань (граница), числового множества $X$$X$  — число $a$$a$  такое, что $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->a$$\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a$ .

Миноранта, или нижняя грань (граница), числового множества $X$$X$  — число $b$$b$  такое, что $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x⩾<!--\; ⩾\; -->b$$\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b$ .

Подобным образом вводятся аналогичные понятия для подмножества нечислового частично упорядоченного множества. Эти понятия будут использованы ниже.

ОпределенияПравить

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий), подмножества $X$$X$  частично упорядоченного множества (или класса) $M$$M$  называется наименьший элемент $M$$M$ , который равен или больше всех элементов множества $X$$X$ . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается $supX$$\sup X$ .

Более формально:

$S_X=\{y\in <!--\; \in \; -->M\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:x⩽<!--\; ⩽\; -->y\}$$S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}$  — множество верхних граней $X$$X$ , то есть элементов $M$$M$ , равных или больших всех элементов $X$$X$ ;

$s=sup(X)⟺<!--\; ⟺\; -->S_X\ni <!--\; \ni \; -->s|\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->S_X:s⩽<!--\; ⩽\; -->y.$$s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.$ 

Точной нижней гранью (наибольшей нижней границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий), подмножества $X$$X$  частично упорядоченного множества (или класса) $M$$M$  называется наибольший элемент $M$$M$ , который равен или меньше всех элементов множества $X$$X$ . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается $infX$$\inf X$ .

ЗамечанияПравить

• Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли $supX$$\sup X$  и $infX$$\inf X$  множеству $X$$X$  или нет:

в случае $s=supX\in <!--\; \in \; -->X$$s=\sup X\in X$  говорят, что $s$$s$  является максимумом $X$$X$ , то есть $s=maxX$$s=\max X$ ;

в случае $i=infX\in <!--\; \in \; -->X$$i=\inf X\in X$  говорят, что $i$$i$  является минимумом $X$$X$ , то есть $i=minX$$i=\min X$ .

• Приведенные определения являются непредикативными (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы «порочного круга» в рамках своих теорий.
• При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу», при этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества, а оценка снизу верхней границей. C английского языка термин «upper bound» может переводится и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением «lower bound».

ПримерыПравить

• На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. $inf$$\inf$  такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум, и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества $S=\left\{\frac{1}{k}\mid <!--\; \mid \; -->k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots <!--\; \dots \; -->\right\}$$S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;\ldots \right\}$ 

$supS=1$$\sup S=1$ ; $infS=0$$\inf S=0$ .

• Множество положительных рациональных чисел ${\mathbb{Q}}_{+}=\{x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}\mid <!--\; \mid \; -->x>0\}$$\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$  не имеет точной верхней грани в $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ , точная нижняя грань $inf{\mathbb{Q}}_{+}=0$$\inf \mathbb {Q} _{+}=0$ .
• Множество $X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}$  рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

$supX=\sqrt{2}$$\sup X={\sqrt {2}}$  и $infX=-<!--\; -\; -->\sqrt{2}$$\inf X=-{\sqrt {2}}$ .

Теорема о граняхПравить

ФормулировкаПравить

Непустое подмножество действительных чисел $A$$A$ , ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное $B$$B$ , ограниченное снизу, — точную нижнюю грань. То есть существуют $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}$${\bar {a}}$  и $\underset{\_<!--\; \_\; -->}{b}$${\underline {b}}$  такие, что:

${\bar {a}}=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a}},\\\forall {\bar {a}}'<{\bar {a}}\,\,\exists a\in A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)$ 

${\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b}},\\\forall {\underline {b}}'>{\underline {b}}\,\,\exists b\in B:b<{\underline {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)$ 

ДоказательствоПравить

Для непустого множества $X$$X$ , ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  в виде бесконечных десятичных дробей: $x=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x_0,x_1\dots <!--\; \dots \; -->x_m\dots <!--\; \dots \; -->}$$x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots }}$ , где $x_0\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\cup <!--\; \cup \; -->\{0\};\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N},x_i$$x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i}$  — цифра.

Множество $X_0=\{x_0\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x_0,x_1\dots <!--\; \dots \; -->x_m\dots <!--\; \dots \; -->}\in <!--\; \in \; -->X\}$$X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$  непусто и ограниченно сверху по определению $X$$X$ . Так как $X_0\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{N}\cup <!--\; \cup \; -->\{0\}$$X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\}$  и ограничено сверху, существует конечное число элементов $X_0$$X_{0}$ , больших некоторого ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}_0\in <!--\; \in \; -->X_0$${\tilde {x}}_{0}\in X_{0}$  (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность $X_0$$X_{0}$  сверху). Среди таких выберем $a_0=max{X}_0$$a_{0}=\max X_{0}$ .

Множество $X_1=\{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,x_1}\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,x_1\dots <!--\; \dots \; -->x_m\dots <!--\; \dots \; -->}\in <!--\; \in \; -->X\}$$X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$  непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует $a_1=max{X}_1$$a_{1}=\max X_{1}$ .

Допустим, что для некоторого номера $m$$m$  построено десятичное число $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m}$${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}$  такое, что $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:x=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m\dots <!--\; \dots \; -->}$$\exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots }}$ , причём $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:x=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x_0,x_1\dots <!--\; \dots \; -->x_m\dots <!--\; \dots \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x_0,x_1\dots <!--\; \dots \; -->x_m}⩽<!--\; ⩽\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m}$$\forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}$  (десятичная запись всякого элемента исходного множества до $m$$m$ -го знака после запятой не превосходит $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m}$${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}$ , причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с $a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m$$a_{0},a_{1}\dots a_{m}$ ).

Обозначим $X_{m+1}=\{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,\dots <!--\; \dots \; -->a_{m+1}}\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,\dots <!--\; \dots \; -->a_{m+1}\dots <!--\; \dots \; -->}\in <!--\; \in \; -->X\}$$X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}\ldots }}\in X\}$  (множество из элементов $X$$X$ , начинающихся в десятичной записи с $a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m{a}_{m+1}$$a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}$ ). По определению числа $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m}$${\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}$ , множество $X_{m+1}$$X_{m+1}$  непусто. Оно конечно, поэтому существует число $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m{a}_{m+1}}=max{X}_{m+1}$${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$ , обладающее теми же свойствами, что и $a_m$$a_m$ .

Таким образом, согласно принципу индукции, для любого $n$$n$  оказывается определённой цифра $a_n$$a_n$  и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

$a\equiv <!--\; \equiv \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_n\dots <!--\; \dots \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}$ .

Возьмем произвольное число $x\in <!--\; \in \; -->X,x=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x_0,x_1\dots <!--\; \dots \; -->x_n\dots <!--\; \dots \; -->}$$x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}$ . По построению числа $a$$a$ , для любого номера $n$$n$  выполняется $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x_0,x_1\dots <!--\; \dots \; -->x_n}⩽<!--\; ⩽\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_n}$${\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n}}}$  и поэтому $x⩽<!--\; ⩽\; -->a$$x\leqslant a$ . Поскольку рассуждение выполнено $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X$$\forall x\in X$ , то $a=supX$$a=\sup X$ , причём вторая строка определения оказывается выполненой из построения $a$$a$ .

Выберем $a'<a$ . Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи $a^{\prime }$$a'$  меньше соответствующей в записи $a$$a$ . Рассмотрим полученное $X_i$$X_{i}$  по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто, $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X_i\subset <!--\; \subset \; -->X:x>a^{\prime }$$\exists x\in X_{i}\subset X:x>a'$ .

Доказательство, использующее принцип полнотыПравить

Для непустого множества $X$$X$ , ограниченного сверху, рассмотрим $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\overline {X}}$  — непустое множество верхних граней $X$$X$ . По определению, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}⩾<!--\; ⩾\; -->x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$  (множество $X$$X$  лежит левее $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\overline {X}}$ ). Согласно непрерывности, $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}c\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}:\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X⩽<!--\; ⩽\; -->c⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$$\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ . По определению $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\overline {X}}$ , в любом случае $c\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$$c\in {\overline {X}}$  (иначе $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\overline {X}}$  — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как $c$$c$  является наименьшим элементом $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\overline {X}}$ , то $c=supX$$c=\sup X$ .

Проверим вторую строку определения. Выберем $c'<c$ . Пусть $\mathrm{\nexists }x\in <!--\; \in \; -->X:x>c^{\prime }$$\not \exists x\in X:x>c'$ , тогда $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:x⩽<!--\; ⩽\; -->c^{\prime }$$\forall x\in X:x\leqslant c'$ , а это значит, что $c^{\prime }\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$$c'\in {\overline {X}}$ , но $c'<c$ , а $c$$c$  — наименьший элемент $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\overline {X}}$ . Противоречие, значит $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:x>c^{\prime }$$\exists x\in X:x>c'$ . Вообще говоря, рассуждение верно $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{c}^{\prime }$$\forall c'$ .

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.

СвойстваПравить

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  существует $sup$$\sup$ .
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  существует $inf$$\inf$ .
• Вещественное число $s$$s$  является $supX$$\sup X$  тогда и только тогда, когда:

$s$$s$  есть верхняя грань $X$$X$ , то есть для всех элементов $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , $x⩽<!--\; ⩽\; -->s$$x\leqslant s$ ;

для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  найдётся $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , такой, что $x+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>s$$x+\varepsilon >s$  (то есть к $s$$s$  можно сколь угодно «близко подобраться» из множества $X$$X$ , а при $s\in <!--\; \in \; -->X$$s\in X$  очевидно, что $s+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>s$$s+\varepsilon >s$ ).

• Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

Вариации и обобщенияПравить

• Существенный супремум

ЛитератураПравить

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.