Нечёткое множество

Нечёткое множество (иногда размытое, туманное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control^[en], в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале $[0,1]$$[0, 1]$, а не только значения $0$$0$ или $1$$1$. Является базовым понятием нечёткой логики.

Устаревшее название: расплывчатое множество,

ОпределениеПравить

Под нечётким множеством $A$$A$  понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов $x$$x$  универсального множества $X$$X$  и соответствующих степеней принадлежности ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)$$\mu _{A}(x)$ :

$A=\{(x,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x))\mid <!--\; \mid \; -->x\in <!--\; \in \; -->X\}$$A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}$ ,

причём ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)$$\mu _{A}(x)$  — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент $x$$x$  принадлежит нечёткому множеству $A$$A$ . Функция ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)$$\mu _{A}(x)\$  принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве $M$$M$ . Множество $M$$M$  называют множеством принадлежностей, часто в качестве $M$$M$  выбирается отрезок $[0,1]$$[0, 1]$ . Если $M=\{0,1\}$$M=\{0,1\}\$  (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определенияПравить

Пусть $A$$A$  нечёткое множество с элементами из универсального множества $X$$X\$  и множеством принадлежностей $M=[0,1]$$M=[0,1]$ . Тогда:

• носителем (суппортом) нечёткого множества $\mathrm{supp}<!--\; \; -->A$$\operatorname {supp} A$  называется множество $\{x\mid <!--\; \mid \; -->x\in <!--\; \in \; -->X,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)>0\}$$\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}$ ;
• величина $\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{sup}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)$$\sup _{{x\in X}}\mu _{A}(x)$  называется высотой нечёткого множества $A$$A\$ . Нечёткое множество $A$$A\$  нормально, если его высота равна $1$$1\$ . Если высота строго меньше $1$$1\$ , нечёткое множество называется субнормальным;
• нечёткое множество пусто, если $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)=0$$\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0$ . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле

  ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)}{sup{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)}$$\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)}}$ ;

• нечёткое множество унимодально, если ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)=1$$\mu _{A}(x)=1\$  только на одном $x$$x\$  из $X$$X\$ ;
• элементы $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , для которых ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)=0,5$$\mu _{A}(x)=0{,}5$ , называются точками перехода нечёткого множества $A$$A\$ .

Сравнение нечётких множествПравить

Пусть $A$$A$  и $B$$B$  нечёткие множества, заданные на универсальном множестве $X$$X$ .

• $A$$A$  содержится в $B$$B$ , если для любого элемента из $X$$X$  функция его принадлежности множеству $A$$A$  будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству $B$$B$ :

  $A\subset <!--\; \subset \; -->B\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ .

• В случае, если условие ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$  выполняется не для всех $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , говорят о степени включения нечёткого множества $A$$A$  в $B$$B$ , которое определяется так:

  $l\left(A\subset <!--\; \subset \; -->B\right)=\underset{x\in <!--\; \in \; -->T}{min}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$ , где $T=\{x\in <!--\; \in \; -->X;{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)>0\}$$T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\}$ .

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

  $A=B\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$ .

• В случае, если значения функций принадлежности ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)$$\mu _{A}(x)$  и ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$\mu _{B}(x)$  почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств $A$$A$  и $B$$B$ , например, в виде

  $E(A=B)=1-<!--\; -\; -->\underset{x\in <!--\; \in \; -->T}{max}|{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)|$$E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|$ , где $T=\{x\in <!--\; \in \; -->X;{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)\ne <!--\; \ne \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)\}$$T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\}$ .

Свойства нечётких множествПравить

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ -срезом нечёткого множества $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X$$A\subseteq X$ , обозначаемым как $A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$A_{\alpha }$ , называется следующее чёткое множество:

$A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\{x\in <!--\; \in \; -->X\mid <!--\; \mid \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\}$$A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \}$ ,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

$\chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{matrix}}\right.$ 

Для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ -среза нечёткого множества истинна импликация:

$\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}$ .

Нечёткое множество $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbf{R}$$A\subseteq \mathbf {R}$  является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A[\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{x}_1+(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})x_2]⩾<!--\; ⩾\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x_1)\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x_2)=min\{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x_1),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x_2)\}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle$ 

для любых $x_1,x_2\in <!--\; \in \; -->\mathbf{R}$$x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$  и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$\gamma \in [0,1]$ .

Нечёткое множество $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbf{R}$$A\subseteq \mathbf {R}$  является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A[\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{x}_1+(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})x_2]⩽<!--\; ⩽\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x_1)\vee <!--\; \vee \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x_2)=max\{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x_1),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x_2)\}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle$ 

для любых $x_1,x_2\in <!--\; \in \; -->\mathbf{R}$$x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$  и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$\gamma \in [0,1]$ .

Операции над нечёткими множествамиПравить

При множестве принадлежностей $M=[0,1]$$M=[0,1]\$ 

• Пересечением нечётких множеств $A$$A$  и $B$$B$  называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности $A$$A$  и $B$$B$ :

  ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}(x)=min({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x))$$\mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .

• Произведением нечётких множеств $A$$A$  и $B$$B$  называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{AB}(x)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$\mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ .

• Объединением нечётких множеств $A$$A$  и $B$$B$  называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности $A$$A$  и $B$$B$ :

  ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cup <!--\; \cup \; -->B}(x)=max({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x))$$\mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .

• Суммой нечётких множеств $A$$A$  и $B$$B$  называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A+B}(x)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$\mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ .

• Отрицанием множества $A$$A\$  называется множество $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$$\overline A$  с функцией принадлежности:

  ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}}(x)=1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)$$\mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$  для каждого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ .

Альтернативное представление операций над нечёткими множествамиПравить

ПересечениеПравить

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}(x)=T({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x))$$\mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ ,

где функция $T$$T$  — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}(x)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)=min({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x))$$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ 
• ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}(x)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ 
• ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}(x)=max\{0,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)-<!--\; -\; -->1\}$$\mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\}$ 
• $\mu _{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\\mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1,\end{matrix}}\right.$ 
• ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}(x)=1-<!--\; -\; -->min\{1,[(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x){)}^p+(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x){)}^p{]}^{\frac{1}{p}}\}$$\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}$ , для $p⩾<!--\; ⩾\; -->1$$p\geqslant 1$ 

ОбъединениеПравить

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cup <!--\; \cup \; -->B}(x)=S({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x))$$\mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ ,

где функция $S$$S$  — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cup <!--\; \cup \; -->B}(x)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)\vee <!--\; \vee \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)=max({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x),{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x))$$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ 
• ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cup <!--\; \cup \; -->B}(x)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)$$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ 
• ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cup <!--\; \cup \; -->B}(x)=min\{1,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B(x)\}$$\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\}$ 
• $\mu _{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\\mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0\end{matrix}}\right.$ 
• ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{A\cup <!--\; \cup \; -->B}(x)=min\{1,[{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A^p(x)+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B^p(x){]}^{\frac{1}{p}}\}$$\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x)]^{1 \over p}\}$ , для $p⩾<!--\; ⩾\; -->1$$p\geqslant 1$ 

Связь с теорией вероятностейПравить

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)$$\mu _{A}(x)\$  можно рассматривать как вероятность накрытия элемента $x$$x\$  некоторым случайным множеством $B$$B\$ .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

ПримерыПравить

Пусть:

• множество $X=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$$X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$ 
• множество принадлежностей $M=[0,1]$$M=[0,1]$ 
• $A$$A$  и $B$$B$  — два нечётких подмножества $X$$X$ 
  • $A=\{(x_1\mid <!--\; \mid \; -->0,4),(x_2\mid <!--\; \mid \; -->0,6),(x_3\mid <!--\; \mid \; -->0),(x_4\mid <!--\; \mid \; -->1)\}$$A=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1)\}$ 
  • $B=\{(x_1\mid <!--\; \mid \; -->0,3),(x_2\mid <!--\; \mid \; -->0),(x_3\mid <!--\; \mid \; -->0),(x_4\mid <!--\; \mid \; -->0,2)\}$$B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}$ 

Результаты основных операций:

• пересечение: $A\cap <!--\; \cap \; -->B=\{(x_1\mid <!--\; \mid \; -->0,3),(x_2\mid <!--\; \mid \; -->0),(x_3\mid <!--\; \mid \; -->0),(x_4\mid <!--\; \mid \; -->0,2)\}=B$${A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}$ 
• объединение: $A\cup <!--\; \cup \; -->B=\{(x_1\mid <!--\; \mid \; -->0,4),(x_2\mid <!--\; \mid \; -->0,6),(x_3\mid <!--\; \mid \; -->0),(x_4\mid <!--\; \mid \; -->1)\}=A$${A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1)\}={A}$ 

ЛитератураПравить

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.
• Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. — М.: Знание, 1980. — 64 с.
• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
• Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Р. Р. Ягер. — М.: Радио и связь, 1986.
• Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — Т. 8, № 3. — P. 338-353.
• Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981. — 208 с. — 7600 экз.
• Орлов А. И., Луценко Е. В. Системная нечеткая интервальная математика. — Монография (научное издание). — Краснодар, КубГАУ. 2014. — 600 с.[1]