Устойчивость (динамические системы)

Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем.

ОпределенияПравить

Пусть $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — область фазового пространства ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , $I=[\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->};\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$I=[\tau ;\infty )$ , где $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\tau \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=f(t,x),$${\dot {x}}=f(t,x),$

(1)

где $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$ , функция $f$$f$  определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по $x$$x$  в области $I\times <!--\; \times \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$I\times \Omega$ .

При этих условиях для любых $(t_0,x_0)\in <!--\; \in \; -->I\times <!--\; \times \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$  существует единственное решение $x(t,t_0,x_0)$$x(t,t_{0},x_{0})$  системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: $x(t_0,t_0,x_0)=x_0$$x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$ . Выделим некоторое решение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$ , определённое на интервале $J^{+}=[t_0;\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$J^{+}=[t_{0};\infty )$ , таком, что $J^{+}\subset <!--\; \subset \; -->I$$J^{+}\subset I$  и будем называть его невозмущённым решением.

Устойчивость по ЛяпуновуПравить

Невозмущённое решение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых $t_0>\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$t_{0}>\tau$  и $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ , зависящее только от $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  и $t_0$$t_0$  и не зависящее от $t$$t$ , такое, что для всякого $x_0$$x_{0}$ , для которого $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$ , решение $x$$x$  системы (1) с начальными условиями $x(t_0)=x_0$$x(t_{0})=x_{0}$  продолжается на всю полуось $J^{+}$$J^{+}$  и для любого $t\in <!--\; \in \; -->J^{+}$$t\in J^{+}$  удовлетворяет неравенству $\|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon$ .

Символически это записывается так:

$\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .$ 

Невозмущённое решение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть

$\exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta ,\exists t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .$ 

Равномерная устойчивостьПравить

Невозмущённое решение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  из предыдущего определения зависит только от $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ :

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .$ 

Асимптотическая устойчивостьПравить

Невозмущённое решение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие $\underset{t\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\Vert <!--\; \Vert \; -->x(t,t_0,x_0)-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)\Vert <!--\; \Vert \; -->=0$$\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$  для любого решения $x(t)$$x(t)$  с начальными данными $x_0$$x_{0}$ , для которых выполняется неравенство $||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0}$  при некотором ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_0$$\delta _{0}$ .

Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивости. Невозмущённое решение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  системы (1) называется:

• эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее ($x(t)$$x(t)$  не зависит от $x_0$$x_{0}$ ).
• равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее ($x(t)$$x(t)$  не зависит от $t_0$$t_0$ и $x_0$$x_{0}$ ).
• асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на $x_0$$x_{0}$ ).
• равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.

ЗамечаниеПравить

В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение $x(t)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$x(t)\equiv 0$ , что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену $y=x-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$y=x-\varphi$  и рассматривать систему

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{y}=g(t,y),$${\dot {y}}=g(t,y),$ 

где $g(t,y)=f(t,y+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))-<!--\; -\; -->f(t,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)).$$g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$ 

ЛитератураПравить

• Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений (рус.). — М.: Издательство иностранной литературы, 1954.
• Четаев, Н. Г. Устойчивость движения (рус.). — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
• Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения (рус.). — М.: Физматгиз, 1959.
• Малкин И. Г. Теория устойчивости движения (рус.). — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1966.
• Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости (рус.). — М.: Наука, 1967. — 472 с.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления (рус.). — 3-е изд., испр. и доп.. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
• Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
• Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980.

См. такжеПравить

• Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
• Функция Ляпунова