Разность множеств

Не следует путать с Симметрической разностью.

Ра́зность двух мно́жеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств $A$$A$ и $B$$B$ обозначается как $A\setminus <!--\; \setminus \; -->B$$A\setminus B$, но иногда можно встретить обозначение $A-<!--\; -\; -->B$$A-B$ и $A\sim <!--\; \sim \; -->B$$A\sim B$.

Пусть $A$$A$ и $B$$B$ — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

$A\setminus <!--\; \setminus \; -->B=\{x\in <!--\; \in \; -->A\mid <!--\; \mid \; -->x\notin B\}.$$A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.$

Это множество часто называют дополнением множества $B$$B$ до множества $A$$A$. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, $X$$X$. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством $A\subset <!--\; \subset \; -->X$$A\subset X$ и его относительное дополнение $X\setminus <!--\; \setminus \; -->A$$X\setminus A$, при обозначении которого часто опускается значок универсума: $\setminus <!--\; \setminus \; -->A$$\setminus A$; при этом говорится, что $\setminus <!--\; \setminus \; -->A$$\setminus A$ — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что $A\setminus <!--\; \setminus \; -->B=A\cap <!--\; \cap \; -->(\setminus <!--\; \setminus \; -->B)$$A\setminus B=A\cap (\setminus B)$, то есть дополнение множества $B$$B$ до множества $A$$A$ есть пересечение множества $A$$A$ и дополнения множества $B$$B$.

Также применяется и операторная запись вида $A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}$$A^{\complement }$, ${\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}_{X}A$$\complement _{X}A$ или (если опустить универсальное множество) $\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}A$$\complement A$, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$$\overline A$, $A^{\prime }$$A'$.

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

ПримерыПравить

• Пусть $A=\{3,4,5,6\},B=\{6,7,8,9,10\}$$A=\{3,\;4,\;5,\;6\},\;B=\{6,\;7,\;8,\;9,\;10\}$ . Тогда $A\setminus <!--\; \setminus \; -->B=\{3,4,5\},B\setminus <!--\; \setminus \; -->A=\{7,8,9,10\}.$$A\setminus B=\{3,\;4,\;5\},\;B\setminus A=\{7,\;8,\;9,\;10\}.$ 
• Пусть $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  — множество всех вещественных чисел, $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  — множество рациональных чисел, а $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$  — множество целых чисел. Тогда $\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathbb{Q}$$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$  — множество всех иррациональных чисел, а $\mathbb{Q}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathbb{Z}$$\mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$  — дробных.

СвойстваПравить

Пусть $A,B,C,D$$A,\;B,\;C,\;D$  — произвольные множества.

• Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

$A\setminus <!--\; \setminus \; -->A=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}.$$A\setminus A=\varnothing .$ 

• Свойства пустого множества относительно разности:

$\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->A=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->};$$\varnothing \setminus A=\varnothing ;$ 

$A\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=A.$$A\setminus \varnothing =A.$ 

• Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

$A\setminus <!--\; \setminus \; -->B\subset <!--\; \subset \; -->A.$$A\setminus B\subset A.$ 

• $A\cup <!--\; \cup \; -->(B\setminus <!--\; \setminus \; -->A)=A\cup <!--\; \cup \; -->B$$A\cup (B\setminus A)=A\cup B$ . Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
• $A\setminus <!--\; \setminus \; -->B=A\setminus <!--\; \setminus \; -->(A\cap <!--\; \cap \; -->B).$$A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$ 
• Разность не пересекается с вычитаемым:

$A\cap <!--\; \cap \; -->(B\setminus <!--\; \setminus \; -->A)=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}.$$A\cap (B\setminus A)=\varnothing .$ 

• Разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:

$A\setminus <!--\; \setminus \; -->B=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\iff <!--\; \iff \; -->A\subset <!--\; \subset \; -->B.$$A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B.$ 

• Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

$A\setminus <!--\; \setminus \; -->(B\cap <!--\; \cap \; -->C)=(A\setminus <!--\; \setminus \; -->B)\cup <!--\; \cup \; -->(A\setminus <!--\; \setminus \; -->C);$$A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C);$ 

$A\setminus <!--\; \setminus \; -->(B\cup <!--\; \cup \; -->C)=(A\setminus <!--\; \setminus \; -->B)\cap <!--\; \cap \; -->(A\setminus <!--\; \setminus \; -->C).$$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).$ 

• $(A\cup <!--\; \cup \; -->B)\setminus <!--\; \setminus \; -->C=(A\setminus <!--\; \setminus \; -->C)\cup <!--\; \cup \; -->(B\setminus <!--\; \setminus \; -->C);$$(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C);$ 
• $A\setminus <!--\; \setminus \; -->(B\setminus <!--\; \setminus \; -->C)=(A\setminus <!--\; \setminus \; -->B)\cup <!--\; \cup \; -->(A\cap <!--\; \cap \; -->C);$$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C);$ 
• $A\setminus <!--\; \setminus \; -->(B\cup <!--\; \cup \; -->C)=(A\setminus <!--\; \setminus \; -->B)\setminus <!--\; \setminus \; -->C;$$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;$ 
• $(B\setminus <!--\; \setminus \; -->A)\cap <!--\; \cap \; -->C=(B\cap <!--\; \cap \; -->C)\setminus <!--\; \setminus \; -->A=B\cap <!--\; \cap \; -->(C\setminus <!--\; \setminus \; -->A);$$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$ 
• $(B\setminus <!--\; \setminus \; -->A)\cup <!--\; \cup \; -->C=(B\cup <!--\; \cup \; -->C)\setminus <!--\; \setminus \; -->A$$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A$ , если $C\cap <!--\; \cap \; -->A=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$C\cap A=\varnothing$ .
• Если $A\subset <!--\; \subset \; -->B$$A\subset B$  и $C\subset <!--\; \subset \; -->D$$C\subset D$ , то $(A\setminus <!--\; \setminus \; -->D)\subset <!--\; \subset \; -->(B\setminus <!--\; \setminus \; -->C);$$(A\setminus D)\subset (B\setminus C);$ 
• Если $A\subset <!--\; \subset \; -->B$$A\subset B$ , то для любого $C$$C$  выполняется $(C\setminus <!--\; \setminus \; -->B)\subset <!--\; \subset \; -->(C\setminus <!--\; \setminus \; -->A)$$(C\setminus B)\subset (C\setminus A)$ . Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если $a⩽<!--\; ⩽\; -->b$$a\leqslant b$ , то для любого $c$$c$  справедливо $(c-<!--\; -\; -->b)⩽<!--\; ⩽\; -->(c-<!--\; -\; -->a)$$(c-b)\leqslant (c-a)$ .

Компьютерные реализацииПравить

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

В языке программирования Python операция реализована с помощью метода diff над объектом типа set.

Дополнение множестваПравить

ОпределениеПравить

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума $X$$X$ , то определяется операция дополнения:

$A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=X\setminus <!--\; \setminus \; -->A\equiv <!--\; \equiv \; -->\{x\in <!--\; \in \; -->X\mid <!--\; \mid \; -->x\notin A\}.$$A^{\complement }=X\setminus A\equiv \{x\in X\mid x\not \in A\}.$ 

СвойстваПравить

• Операция дополнения является унарной операцией на булеане $2^X$$2^{X}$ .
• Законы дополнения:

• $A\cup <!--\; \cup \; -->A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=X;$$A\cup A^{\complement }=X;$ 
• $A\cap <!--\; \cap \; -->A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}.$$A\cap A^{\complement }=\varnothing .$ 

В частности, если оба $A$$A$  и $A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}$$A^{\complement }$  непусты, то $\{A,A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\}$$\{A,\;A^{\complement }\}$  является разбиением $X$$X$ .

• $X^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->};$$X^{\complement }=\varnothing ;$ 
• ${\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=X;$$\varnothing ^{\complement }=X;$ 
• $(A\subset <!--\; \subset \; -->B)\iff <!--\; \iff \; -->(B^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\subset <!--\; \subset \; -->A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}).$$(A\subset B)\Leftrightarrow (B^{\complement }\subset A^{\complement }).$ 

• Операция дополнения является инволюцией:

$(A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}{)}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=A.$$(A^{\complement })^{\complement }=A.$ 

• Законы де Моргана:

• $(A\cup <!--\; \cup \; -->B{)}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->B^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}};$$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement };$ 
• $(A\cap <!--\; \cap \; -->B{)}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\cup <!--\; \cup \; -->B^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}.$$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$ 

• Законы разности множеств:

• $A\setminus <!--\; \setminus \; -->B=A\cap <!--\; \cap \; -->B^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}};$$A\setminus B=A\cap B^{\complement };$ 
• $(A\setminus <!--\; \setminus \; -->B{)}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\cup <!--\; \cup \; -->B.$$(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.$ 

КодировкаПравить

Графема	Название	Юникод	HTML	LaTeX
∁	COMPLEMENT	U+2201	∁	\complement

См. такжеПравить

• Операции над множествами

ЛитератураПравить

• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.