Неравенство Сильвестра

Нера́венство Сильве́стра — соотношение ранга произведения матриц с рангами исходных матриц:

$\mathrm{r}\mathrm{k}A+\mathrm{r}\mathrm{k}B⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{r}\mathrm{k}AB+n$$\mathrm {rk} \,A+\mathrm {rk} \,B\leqslant \mathrm {rk} \,AB+n$,

где $n$$n$ — число столбцов матрицы $A$$A$ и число строк матрицы $B$$B$. Названо по имени английского математика XIX века Джеймса Сильвестра.

Результат непосредственно следует из неравенства Фробениуса ($E$$E$ — единичная матрица): $\mathrm{r}\mathrm{k}AE+\mathrm{r}\mathrm{k}EB⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{r}\mathrm{k}AEB+\mathrm{r}\mathrm{k}E.=\mathrm{r}\mathrm{k}AB+n$$\mathrm {rk} \,AE+\mathrm {rk} \,EB\leqslant \mathrm {rk} \,AEB+\mathrm {rk} \,E.=\mathrm {rk} \,AB+n$.

ЛитератураПравить

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.