Неравенство Виртингера

Исторически неравенством Виртингера называли неравенство в следующей теореме:

Пусть функция f : R → R является непрерывно дифференцируемой и 2π-периодической, и пусть

$\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=0$$\int \limits _{0}^{2\pi }f(x)dx=0$.

Тогда

$\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^2(x)dx\le <!--\; \le \; -->\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^{\prime 2}(x)dx$$\int \limits _{0}^{{2\pi }}f^{2}(x)dx\leq \int \limits _{0}^{{2\pi }}f'^{2}(x)dx$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

$f(x)=a\sin <!--\; \; -->x+b\cos <!--\; \; -->x$$f(x)=a\sin x+b\cos x$, при каких-то a и b

или, что то же самое,

$f(x)=c\sin <!--\; \; -->(x+d)$$f(x)=c\sin(x+d)$ при каких-то c и d.

Это неравенство было использовано при доказательстве теоремы о фигуре наибольшей площади при фиксированном периметре.

Современное состояние проблемыПравить

Легко увидеть, что неравенство Виртингера связывает нормы в пространстве $L^2$$L^{2}$  производной и самой функции:

${\Vert <!--\; \Vert \; -->f\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{L^2}^2\le <!--\; \le \; -->{\Vert <!--\; \Vert \; -->f^{\prime }\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{L^2}^2$${\|f\|}_{{L^{2}}}^{2}\leq {\|f'\|}_{{L^{2}}}^{2}$ 

В такой форме неравенство является одномерным аналогом неравенства Фридрихса.

Ясно, что можно пробовать отыскать аналогичное неравенство при различных (и даже разных) нормах в правой и левой частях неравенства. Эта задача интенсивно исследовалась многими математиками, достаточно сказать, что в одной обзорной статье по неравенству Виртингера была приведено более 200 ссылок на работы различных авторов. Во многих случаях найдены как точные константы, которые надо поставить перед нормой производной, так и экстремальные функции, на которых неравенство обращается в равенство.