Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу

Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу — это неравенство

$c_1^2⩽<!--\; ⩽\; -->3c_2$$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$

между числами Чжэня^[en] компактных комплексных поверхностей общего вида. Главный интерес в этом неравенстве — возможность ограничить возможные топологические типы рассматриваемого вещественного 4-многообразия. Неравенство доказали независимо Яу и Миаоки, после того как Ван де Вен и Фёдор Богомоловдоказали более слабые версии неравенства с константами 8 и 4 вместо 3.

Борель и Хирцебрух показали, что неравенство нельзя улучшить, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство неверно для положительных характеристик — Ленг и Истон привели примеры поверхностей с характеристикой p, такие как обобщённая поверхность Рейно^[en], для которых неравенство не выполняется.

Формулировка неравенстваПравить

Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.

Пусть X — компактная комплексная поверхность общего типа^[en], и пусть $c_1=c_1(X)$$c_{1}=c_{1}(X)$  и $c_2=c_2(X)$$c_{2}=c_{2}(X)$  — первый и второй класс Чжэня^[en] комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда

$c_1^2⩽<!--\; ⩽\; -->3c_2.$$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}.$ 

Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении гипотезы Калаби^[en].

Поскольку $c_2(X)=e(X)$$c_{2}(X)=e(X)$  является топологической характеристикой Эйлера, а по теореме о сигнатуре Тома — Хирцебруха^[en] $c_1^2(X)=2e(X)+3\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(X)$$c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)$ , где $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(X)$$\sigma (X)$  является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(X)⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{3}e(X),$$\sigma (X)\leqslant {\frac {1}{3}}e(X),$ 

и более того, если $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(X)=(1/3)e(X)$$\sigma (X)=(1/3)e(X)$ , универсальное покрытие является шаром.

Вместе с неравенством Нётера^[en] неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется географией поверхностей^[en]. См. статью Поверхности общего типа^[en].

Поверхности с c₁² = 3c₂Править

Пусть X — поверхность общего типа с $c_1^2=3c_2$$c_{1}^{2}=3c_{2}$ , так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей Яу доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в ${\mathbb{C}}^2$${\mathbb {C} }^{2}$  по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. Борель показал, что существует бесконечно много значений $c_1^2=3c_2$$c_{1}^{2}=3c_{2}$ , для которых поверхности существуют. Мамфорд нашёл ложную проективная плоскость с $c_1^2=3c_2=9$$c_{1}^{2}=3c_{2}=9$ , которая имеет минимальное возможное значение, поскольку $c_1^2+c_2$$c_{1}^{2}+c_{2}$  всегда делится на 12, а Прасад и Йен, а также Картрайт и Стегер показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с $c_1^2=3c_2=3^2{5}^4$$c_{1}^{2}=3c_{2}=3^{2}5^{4}$ . Исида нашёл фактор такой поверхности с $c_1^2=3c_2=45$$c_{1}^{2}=3c_{2}=45$  и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с $c_1^2=3c_2=45$$c_{1}^{2}=3c_{2}=45$  для любого положительного k. Картрайт и Стегер нашли примеры с $c_1^2=3c_2=9n$$c_{1}^{2}=3c_{2}=9n$  для любого положительного целого n.