Неравенство Бесселя

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента $x$$x$ в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

ФормулировкаПравить

Пусть $H$$H$  — гильбертово пространство, и $e_1,e_2,...$$e_1, e_2, ...$  — ортонормированная последовательность элементов $H$$H$ . Тогда для произвольного $x\in <!--\; \in \; -->H$$x\in H$  выполняется неравенство:

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left|⟨x,e_k⟩\right|}^2\le <!--\; \le \; -->{\Vert x\Vert }^2$$\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2$ 

где $⟨<!--\; ⟨\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \cdot ,\cdot \rangle$  обозначает скалярное произведение в пространстве $H$$H$ .

Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

$0\le <!--\; \le \; -->{\Vert x-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->x,e_k⟩<!--\; ⟩\; -->e_k\Vert }^2=\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2-<!--\; -\; -->2\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|⟨<!--\; ⟨\; -->x,e_k⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|⟨<!--\; ⟨\; -->x,e_k⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2=\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|⟨<!--\; ⟨\; -->x,e_k⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2,$$0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,$ 

которое выполняется для произвольного $n\ge <!--\; \ge \; -->1$$n\geq 1$ .

См. такжеПравить

• Равенство Парсеваля

СсылкиПравить

• Bessel's Inequality Архивная копия от 29 июня 2011 на Wayback Machine статья на сайте MathWorld.
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — 140 с. — ISBN УДК 517.98(042.4) (недоступная ссылка)

ЛитератураПравить

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-x ч. Часть II. — 4-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 464 с. — ISBN 5-9221-0131-5.