Непрерывное отношение предпочтения

Непрерывность отношения предпочтения означает, что если потребитель предпочитает набору $y$$y$ набор $x$$x$, то он также предпочтёт наборам, близким к $y$$y$, наборы, близкие к $x$$x$.

Непрерывность отношения предпочтения обеспечивает также другие «желательные» свойства предпочтений. В частности для непрерывных неоклассических предпочтений существует непрерывная функция полезности, их представляющая. Если непрерывное отношение предпочтения, являющееся также и монотонным, то классы безразличия будут гиперповерхностями (в случае двух товаров — это кривые безразличия).

Формальные определенияПравить

Непрерывность можно определить несколькими эквивалентными способами.

• Отношение предпочтения $⪰<!--\; ⪰\; -->$$\succeq$  называется непрерывным, если для произвольного набора $y\in <!--\; \in \; -->X$$y\in X$  множества $\{x\in <!--\; \in \; -->X:x⪰<!--\; ⪰\; -->y\}$${\big \{}x\in X:x\succeq y{\big \}}$  и $\{z\in <!--\; \in \; -->X:y⪰<!--\; ⪰\; -->z\}$${\big \{}z\in X:y\succeq z{\big \}}$  являются замкнутыми. Первое множество содержит все наборы, которые слабо преобладают над $y$$y$  (то есть не хуже $y$$y$ ), во втором множестве все наборы такие, что $y$$y$  слабо преобладает над ними (то есть они не лучше $y$$y$ ).

• Отношение предпочтения $⪰<!--\; ⪰\; -->$$\succeq$  называется непрерывным, если для любых сходящихся последовательностей наборов $x_n$$x_{n}$  и $y_n$$y_{n}$ , таких что $x_n⪰<!--\; ⪰\; -->y_n$$x_{n}\succeq y_{n}$  выполнено также и $x⪰<!--\; ⪰\; -->y$$x\succeq y$ , где x и y — пределы этих последовательностей.

Для неоклассических предпочтений непрерывность нестрогого предпочтения может быть определена одним из следующих эквивалентных свойств строгого предпочтения $\succ <!--\; \succ \; -->$$\succ$ :

• Множество $\{x\in <!--\; \in \; -->X:x\succ <!--\; \succ \; -->y\}$${\big \{}x\in X:x\succ y{\big \}}$  наборов, лучших $y$$y$ , и множество $\{z\in <!--\; \in \; -->X:y\succ <!--\; \succ \; -->z\}$${\big \{}z\in X:y\succ z{\big \}}$  наборов, худших $y$$y$ , должны быть открытыми

• Если $x\succ <!--\; \succ \; -->y$$x\succ y$ , то существуют окрестности $V_x$$V_{x}$  и $V_y$$V_{y}$ , такие, что для любых $a\in <!--\; \in \; -->V_x$$a\in V_{x}$  и $b\in <!--\; \in \; -->V_y$$b\in V_{y}$  выполнено $a\succ <!--\; \succ \; -->b$$a\succ b$ 

Поскольку открытые множества не содержат своих предельных точек, то помимо множества лучших и множества худших, чем $y$$y$  наборов, должно быть ещё множество наборов, которые являются безразличными по отношению $y$$y$  и разделяют первые два множества. Таким образом, из непрерывности следует, что перемещаясь от худшего произвольно выбранного набора $y$$y$  до лучшего $y$$y$ , по дороге всегда наткнёмся на набор, безразличный по отношению к $y$$y$ .

Классическим примером отношения предпочтения, не являющегося непрерывным, служит лексикографическое отношение предпочтения.

См. такжеПравить

• Отношение предпочтения
• Монотонное отношение предпочтения
• Выпуклое отношение предпочтения

ЛитератураПравить

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry Microeconomic Theory., Oxford: Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-507340-1 .
• Varian, Hal R. Intermediate Microeconomics, WW Norton & Company, 2005.