Неперов логарифм

Под неперовым логарифмом (англ. Napierian (Naperian) logarithm), как правило, понимают натуральный логарифм. Сам Джон Непер, имя которого носит функция, описал функцию, не совпадающую с современным натуральным логарифмом (см. ниже). Поэтому под неперовым логарифмом могут понимать и ту функцию, которую он использовал:

График неперова логарифма для значений аргумента от 0 до 10⁸

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)=\frac{\log <!--\; \; -->\frac{{10}^7}{x}}{\log <!--\; \; -->\frac{{10}^7}{{10}^7-<!--\; -\; -->1}}.$$\mathrm {NapLog} (x)={\frac {\log {\frac {10^{7}}{x}}}{\log {\frac {10^{7}}{10^{7}-1}}}}.$

Это частное от деления логарифмов, поэтому выбор основания не принципиален. Согласно современному пониманию, это выражение не является логарифмом. Однако его можно переписать следующим образом:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)={\log }_{\frac{{10}^7}{{10}^7-<!--\; -\; -->1}}<!--\; \; -->{10}^7-<!--\; -\; -->{\log }_{\frac{{10}^7}{{10}^7-<!--\; -\; -->1}}<!--\; \; -->x$$\mathrm {NapLog} (x)=\log _{\frac {10^{7}}{10^{7}-1}}10^{7}-\log _{\frac {10^{7}}{10^{7}-1}}x$

что есть линейная функция конкретного логарифма. Она обладает многими свойствами логарифма в его современном понимании, например:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(xy)=\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)+\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(y)-<!--\; -\; -->161180950$$\mathrm {NapLog} (xy)=\mathrm {NapLog} (x)+\mathrm {NapLog} (y)-161180950$

СвойстваПравить

Неперов логарифм связан с натуральным:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)\approx <!--\; \approx \; -->9999999.5(16.11809565-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->x)$$\mathrm {NapLog} (x)\approx 9999999.5(16.11809565-\ln x)$ 

Также он связан с десятичным логарифмом:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)\approx <!--\; \approx \; -->23025850(7-<!--\; -\; -->{\log }_{10}<!--\; \; -->x).$$\mathrm {NapLog} (x)\approx 23025850(7-\log _{10}x).$ 

При этом

$16.11809565\approx <!--\; \approx \; -->7\ln <!--\; \; -->\left(10\right)$$16.11809565\approx 7\ln \left(10\right)$ 

и

$23025850\approx <!--\; \approx \; -->{10}^7\ln <!--\; \; -->(10).$$23025850\approx 10^{7}\ln(10).$ 

См. такжеПравить

• История логарифмов

ЛитератураПравить

ИсточникиПравить

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C. (1991), A History of Mathematics, Wiley, с. 313, ISBN 978-0-471-54397-8 .
• Edwards, Charles Henry (1994), The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag, с. 153 .
• Phillips, George McArtney (2000), Two Millennia of Mathematics: from Archimedes to Gauss, vol. 6, CMS Books in Mathematics, Springer-Verlag, с. 61, ISBN 978-0-387-95022-8 .

СсылкиПравить

• Denis Roegel (2012) Napier’s Ideal Construction of the Logarithms Архивная копия от 17 апреля 2016 на Wayback Machine на Loria Collection of Mathematical Tables.