Неопределённая ортогональная группа

Неопределённая ортогональная группа $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$ — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной невырожденную^[en] симметричную билинейную форму^[en] с сигнатурой $(p,q)$$(p,q)$, где $n=p+q$$n=p+q$. Размерность группы равна $n(n-<!--\; -\; -->1)/2$$n(n-1)/2$.

Неопределённая специальная ортогональная группа $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {SO} (p,q)$ является подгруппой $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$, состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {SO} (p,q)$ не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$$\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ и ${\mathrm{O}}^{+}(p,q)$$\mathrm {O} ^{+}(p,q)$, которая имеет две компоненты — см. раздел Топология, в котором дано определение и доказан этот факт.

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма. Перестановка p и q приводит к смене знака скалярного произведения, что даёт ту же самую группу. Если p или q равно нулю, группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). Далее мы предполагаем, что p и q положительны.

Группа $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$ определяется для векторных пространств над вещественными числами. Для комплексных пространств все группы $\mathrm{O}(p,q;\mathbb{C})$$\mathrm {O} (p,q;\mathbb {C} )$ изоморфны обычной ортогональной группе $\mathrm{O}(p+q;\mathbb{C})$$\mathrm {O} (p+q;\mathbb {C} )$, поскольку преобразование $z_j\mapsto <!--\; \mapsto \; -->i{z}_j$$z_{j}\mapsto iz_{j}$ изменяет сигнатуру формы.

В пространстве чётной размерности $n=2p$$n=2p$ группа $\mathrm{O}(p,p)$$\mathrm {O} (p,p)$ известна как расщепимая ортогональная группа.

ПримерыПравить

 

Сжимающие отображения, здесь $r=3/2$$r=3/2$ , являются основными гиперболическими симметриями.

Основным примером является группа ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(1,1)$$\mathrm {SO} ^{+}(1,1)$  (единичная компонента) линейных преобразований, сохраняющих единичную гиперболу^[en]. Конкретно, это матрицы $\left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],$  которые могут интерпретироваться как гиперболические вращения, так же как группа SO(2) может интерпретироваться как круговые вращения.

В физике группа Лоренца $\mathrm{O}(1,3)$$\mathrm {O} (1,3)$  играет важную роль, будучи основой теории электромагнетизма и специальной теории относительности.

Матричное определениеПравить

Можно определить $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$ , как группу матриц, так же как для классической ортогональной группы $\mathrm{O}(n)$$\mathrm {O} (n)$ . Рассмотрим $(p+q)\times <!--\; \times \; -->(p+q)$$(p+q)\times (p+q)$  диагональную матрицу $g$$g$ , заданную выражением:

$g=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\underset{p}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{1,\dots <!--\; \dots \; -->,1}},\underset{q}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{-<!--\; -\; -->1,\dots <!--\; \dots \; -->,-<!--\; -\; -->1}}).$$g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).$ 

Теперь мы можем определить симметричную билинейную форму^[en] $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->{]}_{p,q}$$[\cdot ,\cdot ]_{p,q}$  на ${\mathbb{R}}^{p+q}$$\mathbb {R} ^{p+q}$  формулой

$[x,y{]}_{p,q}=⟨<!--\; ⟨\; -->x,gy⟩<!--\; ⟩\; -->=x_1{y}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_p{y}_p-<!--\; -\; -->x_{p+1}{y}_{p+1}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->x_{p+q}{y}_{p+q}$$[x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}$ ,

где $⟨<!--\; ⟨\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle\cdot,\cdot\rangle$  является стандартным скалярным произведением на ${\mathbb{R}}^{p+q}$$\mathbb {R} ^{p+q}$ .

Мы определяем тогда $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$ , как группу $(p+q)\times <!--\; \times \; -->(p+q)$$(p+q)\times (p+q)$  матриц, которые сохраняют эту билинейную форму:

$\mathrm{O}(p,q)=\{A\in <!--\; \in \; -->M_{p+q}(\mathbb{R})|[Ax,Ay{]}_{p,q}=[x,y{]}_{p,q}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{p+q}\}$$\mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}$ .

Более явно $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$  состоит из матриц $A$$A$ , таких что:

$g{A}^{\mathrm{T}}g=A^{-<!--\; -\; -->1}$$gA^{\mathrm {T} }g=A^{-1}$ ,

где $A^{\mathrm{T}}$$A^{\mathrm {T} }$  является транспонированной матрицей для $A$$A$ .

Получаем изоморфную группу (более того, сопряжённую подгруппу группы $\mathrm{G}\mathrm{L}(p+q)$$\mathrm {GL} (p+q)$ ) путём замены g любой симметричной матрицей с p положительными собственными значениями и q негативными значениями. Диагонализация этой матрицы даёт сопряжение этой группы со стандартной группой $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$ .

ТопологияПравить

Если и p, и q положительны, то ни $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$ , ни $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {SO} (p,q)$  не являются связными, так как имеют четыре и две компоненты соответственно. ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(\mathrm{O}(p,q))\cong <!--\; \cong \; -->{\mathrm{C}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{C}}_2$$\pi _{0}(\mathrm {O} (p,q))\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$  является четверной группой Клейна, в которой каждый множитель либо сохраняет, либо обращает ориентации на пространствах размерности p и q, на которой форма определена. Заметим, что обращение ориентации только на одном из этих подпространств обращает ориентацию на полном пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q))=\{(1,1),(-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->1)\}$$\pi _{0}(\mathrm {SO} (p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}$ , которые либо сохраняют обе ориентации, либо изменяют обе ориентации, в любом случае сохраняя полную ориентацию.

Единичная компонента^[en] группы $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$  часто обозначается как ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$$\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$  и может быть отождествлена с множеством элементов в $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {SO} (p,q)$ , которые сохраняют ориентации. Обозначение связано с обозначением ${\mathrm{O}}^{+}(1,3)$$\mathrm {O} ^{+}(1,3)$  для ортохронной группы Лоренца, где + указывает на сохранение ориентации на первой размерности (соответствующей времени).

Группа $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$  также не компактна, но содержит компактные подгруппы $\mathrm{O}(p)$$\mathrm {O} (p)$  и $\mathrm{O}(q)$$\mathrm {O} (q)$ , действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, $\mathrm{O}(p)\times <!--\; \times \; -->\mathrm{O}(q)$$\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q)$  является максимальной компактной подгруппой группы $\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {O} (p,q)$ , в то время как $\mathrm{S}(\mathrm{O}(p)\times <!--\; \times \; -->\mathrm{O}(q))$$\mathrm {S} (\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q))$  является максимальной компактной подгруппой группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$$\mathrm {SO} (p,q)$ . Аналогично, $\mathrm{S}\mathrm{O}(p)\times <!--\; \times \; -->\mathrm{S}\mathrm{O}(q)$$\mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)$  является максимальной компактной подгруппой группы ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$$\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ . Тогда с точностью до гомотопии пространства эти подгруппы являются произведением (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебраическо-топологические инварианты.

В частности, фундаментальная группа группы ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$$\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$  является произведением фундаментальных групп компонент ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1({\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q))={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(\mathrm{S}\mathrm{O}(p))\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(\mathrm{S}\mathrm{O}(q))$$\pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))=\pi _{1}(\mathrm {SO} (p))\times \pi _{1}(\mathrm {SO} (q))$  и задается как:

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1({\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q))$$\pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))$	p = 1	p = 2	$p⩾<!--\; ⩾\; -->3$$p\geqslant 3$
q = 1	${\mathrm{C}}_1$$\mathrm {C} _{1}$	$\mathrm{Z}$$\mathrm {Z}$	${\mathrm{C}}_2$$\mathrm {C} _{2}$
q = 2	$\mathrm{Z}$$\mathrm {Z}$	$\mathrm{Z}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{Z}$$\mathrm {Z} \times \mathrm {Z}$	$\mathrm{Z}\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{C}}_2$$\mathrm {Z} \times \mathrm {C} _{2}$
q ≥ 3	${\mathrm{C}}_2$$\mathrm {C} _{2}$	${\mathrm{C}}_2\times <!--\; \times \; -->\mathrm{Z}$$\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {Z}$	${\mathrm{C}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{C}}_2$$\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$

Расщепимые ортогональные группыПравить

В пространствах чётной размерности средние группы $\mathrm{O}(n,n)$$\mathrm {O} (n,n)$  известны как расщепимые ортогональные группы, которые представляют особый интерес. Это расщепимая группа Ли^[en], соответствующая комплексной алгебре Ли so_2n (группа Ли расщепимой вещественной формы^[en] алгебры Ли). Точнее, единичная компонента является расщеплением группы Ли, так как неединичные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле это противоположно определению ортогональной группы $\mathrm{O}(n):=\mathrm{O}(n,0)=\mathrm{O}(0,n)$$\mathrm {O} (n):=\mathrm {O} (n,0)=\mathrm {O} (0,n)$ , которая является компактной вещественной формой^[en] комплексной алгебры Ли.

Случай (1, 1) соответствует мультипликативной группе расщепляемых комплексных чисел.

В терминах группы лиева типа, то есть построения алгебраической группы из алгебры Ли, расщепимые ортогональные группы — это группы Шевалле, в то время как нерасщепимые ортогональные группы являются слегка более сложными конструкциями и являются группами Штейнберга.

Расщепимые ортогональные группы используются для построения обобщённого многообразия флагов^[en] над неалгебраически замкнутыми полями.

См. такжеПравить

• Ортогональная группа
• Группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Симметричная билинейная форма^[en]

ЛитератураПравить

• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — Springer, 2015. — Т. 222. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-3319134666.
• Anthony Knapp. Lie Groups Beyond an Introduction // Progress in Mathematics. — Second Edition. — Boston: Birkhäuser, 2002. — Т. 140. — ISBN 0-8176-4259-5. — см. страницу 372 для описания неопределённой ортогональной группы
• В. Л. Попов. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия. — М.: «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 4.
• Joseph A. Wolf. Spaces of constant curvature. — 6th. — Providence, Rhole Island: AMS Chelsea publishing, 2011. — С. 335. — ISBN 978-0-8218-5282-8.