Мост Вина

Мост Ви́на (иногда в литературе — мост Вина — Робинсо́на) — пассивный четырёхполюсник, коэффициент передачи которого зависит от частоты. Одна пара плеч моста — последовательно и параллельно соединённые RC-цепи, составляющие совместно квазирезонансную частотно-избирательную цепь, другая пара плеч представляет резистивный делитель напряжения. Модуль передаточной функции сигнала диагонали моста имеет минимум при некотором соотношении величин двухполюсников входящих в схему и является характеристикой заграждающего фильтра.

Рисунок 1. Электрическая схема моста Вина — Робинсона

Предложен Максом Вином в 1891 году.

Применяется в некоторых RC-генераторах для построения автогенераторов синусоидального сигнала с малыми искажениями и удовлетворительной стабильностью частоты и достаточно широким диапазоном перестройки по частоте. Иногда применяется в качестве полосно-заграждающего фильтра.

Мост может быть использован для измерения ёмкости конденсаторов, измерения паразитных параметров конденсаторов, например эквивалентного паразитного последовательного сопротивления (ЭПС), в измерителях нелинейных искажений и др.

ТеорияПравить

 

Рисунок 2. Модуль передаточной функции частотно-зависимого делителя напряжения моста Вина при $R_1=R_2$$R_{1}=R_{2}$  и $C_1=C_2$$C_{1}=C_{2}$ . Максимум модуля равен 1/3 на частоте ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0=1/RC$$\omega _{0}=1/{RC}$ .

 

Рисунок 3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика напряжения $U_O=U_{O2}-<!--\; -\; -->U_{O1}$$U_{O}=U_{O2}-U_{O1}$  диагонали моста Вина при $R_1=R_2$$R_{1}=R_{2}$  и $C_1=C_2$$C_{1}=C_{2}$ .

В общем случае мост состоит из четырёх различных по величине сопротивления и ёмкости резисторов и двух конденсаторов. Частотно-зависимой цепью моста является делитель напряжения, состоящий из конденсаторов $C_1,C_2$$C_{1},\ C_{2}$  и резисторов $R_1,R_2$$R_{1},\ R_{2}$ . Передаточная функция $H_{dRC}(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$H_{dRC}(j\omega )$  частотно-зависимого делителя напряжения выражается как:

$H_{dRC}(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{R_1||Z_{C_1}}{R_1||Z_{C_1}+Z_{C_2}+R_2}=$$H_{dRC}(j\omega )={{{R_{1}}||{Z_{C_{1}}}} \over {{R_{1}}||{Z_{C_{1}}}+{Z_{C_{2}}}+{R_{2}}}}=$ 

$=\frac{R_1||(1/j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{C}_1)}{R_1||(1/j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{C}_1)+(1/j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{C}_2)+R_2},$$={{{R_{1}}||{(1/j\omega C_{1})}} \over {{R_{1}}||{(1/j\omega C_{1})}+{(1/j\omega C_{2})}+{R_{2}}}},$ 

где $Z_{C_1},Z_{C_1}$$Z_{C_{1}},\ Z_{C_{1}}$  — реактивные сопротивления конденсаторов $C_1,C_1;$$C_{1},\ C_{1};$ 

$j$$j$  — мнимая единица.

Символом $||$$||$  обозначено параллельное соединение элементов, например:

$R_1||Z_{C_1}=\frac{R_1\cdot <!--\; \cdot \; -->Z_{C_1}}{R_1+Z_{C_1}}.$${{{R_{1}}||{Z_{C_{1}}}}={{R_{1}\cdot Z_{C_{1}}} \over {R_{1}+Z_{C_{1}}}}}.$ 

Передаточная функция напряжения, снимаемого с диагонали моста $U_O=U_{O2}-<!--\; -\; -->U_{O1}$$U_{O}=U_{O2}-U_{O1}$  равно разности передаточных функций резистивного делителя $R_3,R_4$$R_{3},\ R_{4}$  и частотно-зависимого делителя напряжения:

$H_{U_O}(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{R_3}{R_3+R_4}-<!--\; -\; -->\frac{R_1||(1/j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{C}_1)}{R_1||(1/j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{C}_1)+(1/j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{C}_2)+R_2}.$$H_{U_{O}}(j\omega )={\frac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}-{{{R_{1}}||{(1/j\omega C_{1})}} \over {{R_{1}}||{(1/j\omega C_{1})}+{(1/j\omega C_{2})}+{R_{2}}}}.$ 

Явное выражение для этой функции через сопротивления резисторов и ёмкости конденсаторов громоздко. Можно показать, что частота колебаний ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0U_O}$$\omega _{0U_{O}}$ , при которой будет наблюдаться минимум модуля комплексной амплитуды напряжения $U_O$$U_{O}$  диагонали моста будет:

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0U_O}=\frac{1}{\sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}.$$\omega _{0U_{O}}={1 \over {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}.$ 

Если при этом дополнительно выполняются соотношение между ёмкостями конденсаторов и сопротивлениями резисторов в виде:

$\frac{C_1}{C_2}=\frac{R_4}{R_3}-<!--\; -\; -->\frac{R_2}{R_1},$${C_{1} \over C_{2}}={R_{4} \over R_{3}}-{R_{2} \over R_{1}},$ 

то модуль комплексной амплитуды напряжения диагонали моста обращается в нуль.

Обычно в фильтрах, генераторах синусоидальных колебаний применяют мост Вина в котором $R_1=R_2=R$$R_1 = R_2 = R$  и $C_1=C_2=C.$$C_{1}=C_{2}=C.$  При таком выборе математические выражения существенно упрощаются.

Передаточная функция частотно-зависимого делителя напряжения:

$H_{RC}(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T}{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{T}^2+3j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T+1}=\frac{j\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2+3j\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}+1}.$$H_{RC}(j\omega )={{j\omega T} \over {-{\omega ^{2}}{T^{2}}+3j\omega T+1}}={{j\Omega } \over {-{\Omega ^{2}}+3j\Omega +1}}.$ 

Модуль передаточной функции частотно-зависимого делителя напряжения (см. рисунок 2):

$|H_{RC}(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})|=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^4{T}^4+7{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{T}^2+1}}=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^4+7{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2+1}}.$$|H_{RC}(j\omega )|=\omega T{\sqrt {1 \over {{\omega ^{4}}{T^{4}}+7{\omega ^{2}}{T^{2}}+1}}}=\Omega {\sqrt {1 \over {{\Omega ^{4}}+7{\Omega ^{2}}+1}}}.$ 

Здесь обозначено $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}RC=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0,$$\Omega =\omega RC=\omega T=\omega /{\omega _{0}},\$  $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — нормированная безразмерная частота, $T=RC$$T=RC$  — постоянная времени RC-цепи, ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0=1/RC$$\omega _{0}=1/RC$  — частота максимума модуля передаточной функции.

При входной частоте $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0,$$\omega =\omega _{0},\$  то есть, при $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=1$$\Omega =1\$ модуль коэффициента передачи частотно-зависимого делителя имеет максимум и равен 1/3 и фазовый сдвиг относительно входного напряжения становится равным нулю.

Если выбрать коэффициент передачи $K_R=R_3/(R_3+R_4)$$K_{R}=R_{3}/(R_{3}+R_{4})$  резистивного делителя $R_3,R_4$$R_{3},\ R_{4}$  равным 1/3, то есть $R_4=2R_3,$$R_{4}=2R_{3},$  то при $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\omega =\omega _{0}$  напряжение диагонали моста станет нулевым.

Передаточная функция напряжения диагонали моста с таким соотношением номиналов компонентов:

$H(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{1}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2}{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2+3j\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}+1},$$H(j\omega )={1 \over 3}\cdot {{1-{\Omega ^{2}}} \over {-{\Omega ^{2}}+3j\Omega +1}},$ 

и модуль этой передаточной функции:

$|H(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})|=\frac{1}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{|1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2|}{\sqrt{{(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2)}^2+9{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2}}.$$|H(j\omega )|={1 \over 3}\cdot {{|1-{\Omega ^{2}}|} \over {\sqrt {{{(1-{\Omega ^{2}})}^{2}}+9{\Omega ^{2}}}}}.$ 

Фазовый сдвиг $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  между входным и выходным напряжениями:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\left(\frac{-<!--\; -\; -->3\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2}\right),\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->1.$$\varphi =\operatorname {arctg} \left({{-3\Omega } \over {1-{\Omega ^{2}}}}\right),\ \Omega \neq 1.$ 

Графики модуля и фазового сдвига напряжения диагонали моста в полулогарифмических координатах приведены на рисунке 3.

ПрименениеПравить

 

Рисунок 4. Вариант применения моста Вина для измерения ёмкости и параллельного паразитного сопротивления исследуемого конденсатора.

Мост Вина может использоваться для измерений параметров конденсаторов. При этом в одно из плечей моста включают исследуемый конденсатор, варьируя входящие в мост сопротивления переменных резисторов и ёмкости переменных конденсаторов, а также частоту синусоидального напряжения питания моста, добиваются его балансировки, то есть равенства нулю напряжения диагонали моста.

Неизвестные параметры исследуемого конденсатора можно при этом получить из решения системы уравнений при известных ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{bal}$$\omega _{bal}$  — частоты, при которой мост сбалансирован, и величин $R_2,C_2,R_3,R_4$$R_{2},\ C_{2},\ R_{3},\ R_{4}$ :

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{bal}=\frac{1}{\sqrt{R_x{R}_2{C}_x{C}_2}},$$\omega _{bal}={1 \over {\sqrt {R_{x}R_{2}C_{x}C_{2}}}},$ 

$\frac{C_x}{C_2}=\frac{R_4}{R_3}-<!--\; -\; -->\frac{R_2}{R_x}.$${C_{x} \over C_{2}}={R_{4} \over R_{3}}-{R_{2} \over R_{x}}.$ 

Решение этой системы уравнений:

$C_x=\frac{C_2{R}_4}{R_3(R_2^2{C}_2^2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{bal}^2+1)},$$C_{x}={{C_{2}R_{4}} \over {R_{3}(R_{2}^{2}C_{2}^{2}\omega _{bal}^{2}+1)}},$ 

$R_x=\frac{R_3(R_2^2{C}_2^2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{bal}^2+1)}{R_2{C}_2^2{R}_4{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{bal}^2}.$$R_{x}={{R_{3}}{(R_{2}^{2}C_{2}^{2}\omega _{bal}^{2}+1)} \over {R_{2}C_{2}^{2}R_{4}\omega _{bal}^{2}}}.$ 

Соответственно, аналогично можно определить эквивалентное последовательное сопротивление конденсатора, слегка видоизменив схему включения — выполнить регулируемыми $R_x,C_x$$R_{x},\ C_{x}$  и вместо $C_2,R_2$$C_{2},\ R_{2}$  включить исследуемый конденсатор.

Традиционно мост Вина применяется в генераторах синусоидального сигнала с очень малым коэффициентом гармоник выходного сигнала, где он включен во положительную обратную связь усилителя с автоматически точно поддерживаемым коэффициентом передачи равным 1/3.

Также мост Вина применяется в измерителях нелинейных искажений в качестве фильтра-подавителя первой основной гармоники исследуемого сигнала.

См. такжеПравить

• Автогенератор на основе моста Вина
• Фильтр (электроника)
• Полосовой фильтр

ЛитератураПравить

• Новиков Ю. Н. Основные понятия и законы теории цепей, методы анализа процессов в цепях. Учебное пособие для вузов. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2011.
• Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники: В 3-х томах = The Art of Electronics: Second Edition (© Cambridge University Press, 1980, 1989) / Пер. с англ.: Б. Н. Бронина, И. И. Короткевич, А. И. Коротова, М. Н. Микшиса, Л. В. Поспелова, О. А. Соболевой, К. Г. Финогенова, Ю. В. Чечёткина, М. П. Шарапова. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — М.: Мир, 1993. — 50 000 экз. — ISBN 5-03-002336-4, 5-03-002337-2, 5-03-002338-0, 5-03-002954-0.

• Довгун В. П. Электротехника и электроника. Учебное. пособие в 2 ч. / В. П. Довгун / Министерство образования и науки РФ. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006. — 252 с.