Монстр Тарского

Монстр Тарского — бесконечная группа, каждая нетривиальная подгруппа которой является циклической группой фиксированного простого порядка. Названа в честь Альфреда Тарского.

Существование монстров Тарского было доказано Ольшанским в 1979 году. Они являются источником контрпримеров в теории групп, например к задаче Бернсайда и гипотезе фон Неймана.

ОпределениеПравить

Пусть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p$ есть фиксированное простое число. Бесконечная группа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $G$ называется монстром Тарского для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p$ , если все собственные подгруппы (то есть все подгруппы, кроме тривиальной $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{1\}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $G$ ) имеет $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p$ элементов.

СвойстваПравить

Монстр Тарского конечно порождён.
- Более того, он порождается любыми двумя некоммутирующими элементами.
Монстр Тарского прост.
По построению Ольшанского существует континуум неизоморфных монстров Тарского для каждого простого числа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p>10^{75}$ .

См. такжеПравить

Монстр (группа)

СсылкиПравить

А. Ю. Ольшанский. Бесконечная группа с~подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем.. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 309—321.
A. Yu. Olshanskii, Groups of bounded period with subgroups of prime order, Algebra and Logic 21 (1983), 369–418; translation of Algebra i Logika 21 (1982), 553–618.
Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometry of defining relations in groups, vol. 70, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6