Модель Ходжкина — Хаксли

Модель Ходжкина — Хаксли — математическая модель, описывающая генерацию и распространение потенциалов действия в нейронах. Подобные модели были созданы впоследствии и для других электрически возбуждаемых клеток — например, для сердечных миоцитов; все модели такого рода описывают автоволновые процессы в активных средах. Точечная модель Ходжкина — Хаксли представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая, в частности, пригодна и для описания характеристик электрического сигнала.

Модель была разработана Аланом Ллойдом Ходжкином и Эндрю Хаксли в 1952 году для описания электрических механизмов, которые обусловливают генерацию и передачу нервного сигнала в гигантском аксоне кальмара^[en]. За это авторы модели получили Нобелевскую премию в области физиологии и медицины за 1963 год.

Основные компонентыПравить

 

Основные компоненты модели Ходжкина — Хаксли. Модель Ходжкина — Хаксли представляет собой биофизические характеристики клеточных мембран.

Компоненты электрической схемы, что соответствует модели Ходжкина — Хаксли, изображены на рисунке. В данной схеме каждый компонент возбуждаемой клетки имеет свой биофизический аналог. Внутреннему липидному слою клеточной мембраны соответствует электроёмкость ($C_m$$C_m$ ). Потенциал-зависимые ионные каналы отвечают за нелинейную электрическую проводимость ($G_n$$G_{n}$ , где $n$$n$  — отдельный вид ионных каналов) — это означает, что проводимость является потенциал-время-зависимой величиной. Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, которые образуют потенциал-зависимые ионные каналы, каждый из которых отмечен некоторой вероятностью открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) мембраны клетки. Каналы мембранных пор отвечают за пассивную проводимость ($G_L$$G_L$ , где индекс $L$$L$  означает англ. leak — «течь, утечка»). Электрохимический градиент побуждает ионы к движению через мембранные каналы, он показан с помощью источников напряжения с соответствующей электродвижущей силой ($E_n$$E_{n}$  и $E_L$$E_{L}$ ), величина которой определяется реверсивным потенциалом (англ.) для соответствующего вида иона. Ионные транспортёры соответствуют источникам тока ($I_p$$I_p$ ).

Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны (${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}}_m$$\dot{V}_m$ ) при описанных условиях пропорциональна сумме токов в полной электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}}_m=-<!--\; -\; -->\frac{1}{C_m}\left(\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{I}_i\right),$$\dot{V}_m=-\frac{1}{C_m}\left(\sum\limits_i I_i\right),$ 

где $I_i$$I_i$  означает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.

Характеристики ионного токаПравить

Электрический ток, проходящий через ионные каналы, может быть математически выражен следующим уравнением:

$I_i(V_m,t)=(V_m-<!--\; -\; -->E_i)g_i,$$I_i(V_m,\;t)=(V_m-E_i)g_i,$ 

где $E_i$$E_{i}$  — равновесный потенциал $i$$i$ -го ионного канала. В случае потенциал-зависимых ионных каналов канальная проводимость $g_i$$g_i$  является функцией времени и потенциала (электрического напряжения) — $g_n(t,V)$$g_n(t,\;V)$  на рисунке, в то время как пассивная проводимость является величиной постоянной ($g_L$$g_L$  на рисунке). Ток, генерируемый ионными транспортерами, зависит от вида ионов, который переносит соответствующий транспортёр. Ниже приведено более подробное описание перечисленных величин.

Потенциал-зависимые ионные каналыПравить

В терминах модели Ходжкина — Хаксли $g_n(t,V)$$g_n(t,\;V)$ , проводимость потенциал-зависимых каналов, описывается следующим образом:

$g_n(V_m,t)={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g}}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}};$$g_n(V_m,\;t)=\bar{g}_n\varphi^\alpha\chi^\beta;$ 

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(V_m,t)=\frac{1}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->});$$\dot{\varphi}(V_m,\;t)=\frac{1}{\tau_\varphi}(\varphi_\infty-\varphi);$ 

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}(V_m,t)=\frac{1}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}}({\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}),$$\dot{\chi}(V_m,\;t)=\frac{1}{\tau_\chi}(\chi_\infty-\chi),$ 

где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  и $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}$$\chi$  являются константами скорости реакций закрытия и открытия каналов, соответственно. Они численно равны доле от максимально возможной проводимости через данный вид каналов в каждый момент времени при каждой величине мембранного потенциала. ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g}}_n$$\bar{g}_n$  является максимальным возможным значением проводимости. $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  — константы, ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\tau_\varphi$  и ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}$$\tau_\chi$  — временны́е константы процессов активации и деактивации каналов, соответственно. ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\varphi_\infty$  и ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\chi_\infty$  является стабилизированными значениями $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  и $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}$$\chi$  при величине времени, стремящейся к бесконечности, и обычно рассчитываются из уравнения Больцмана как функции $V_m$$V_{m}$ .

Для характеристики ионных каналов, последние два уравнения модифицируются для условий, когда на мембране поддерживается постоянная величина электрического потенциала — модификация уравнений Ходжкина — Хаксли, сделанная Марквардтом^[en] . Когда мембранный электрический потенциал поддерживается на постоянном уровне (англ. voltage-clamp), для каждого значения этого потенциала нелинейные уравнения, описывающие пропуск ионов через каналы, редуцируются к линейным дифференциальным уравнениям следующего вида:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0-<!--\; -\; -->\left[({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})(1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->t/{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}})\right];$$\varphi(t)=\varphi_0-\left[(\varphi_0-\varphi_\infty)(1-e^{-t/\tau_\varphi})\right];$ 

$\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(t)={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0-<!--\; -\; -->\left[({\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0-<!--\; -\; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})(1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->t/{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}})\right].$$\chi(t)=\chi_0-\left[(\chi_0-\chi_\infty)(1-e^{-t/\tau_\chi})\right].$ 

Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала $V_m$$V_{m}$ , величина электрического тока описывается следующим уравнением:

$I_n(t)={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g}}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(V_m-<!--\; -\; -->E_n).$$I_n(t)=\bar{g}_n\varphi^\alpha\chi^\beta(V_m-E_n).$ 

Для аппроксимации кривых, которые генерируют данные уравнения, до значений клеточных токов при фиксированном значении мембранного потенциала используется алгоритм Левенберга — Марквардта.

Пассивные каналыПравить

Пассивные каналы отвечают за проницаемость мембраны для ионов в спокойном состоянии (не во время проведения потенциала действия), и ток через них описывается теми же уравнениями, что и для потенциал-зависимых каналов, но при условии постоянной величины проводимости $g_i$$g_i$  ($g_i=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$g_i=\mathrm{const}$ ).

Ионные транспортёрыПравить

Мембранный электрический потенциал генерируется с помощью поддержания концентрационных градиентов ионов, присутствующих в физиологических жидкостях организма, относительно клеточной мембраны. Наиболее важными из белков-транспортёров, которые поддерживают мембранный потенциал, является натриево-кальциевый (транспортирует один ион Са²⁺ внутрь клетки в обмен на три иона Na⁺, транспортируемых наружу), натриево-калиевый (транспортирует один ион Na⁺ наружу в обмен на один ион К⁺ внутрь) и хлорный (транспортирует из клетки наружу ионы Cl⁻).

Модификации и альтернативные моделиПравить

Модель Ходжкина — Хаксли является одним из важнейших достижений в биофизике и нейрофизиологии XX века. Со временем она была модифицирована в следующих направлениях:

• Основываясь на экспериментальных данных, в неё были инкорпорированы дополнительные виды ионных каналов и транспортёров.
• Основываясь на данных микроскопии высокого разрешения, в уравнение добавлены элементы, характеризующие сложную морфологию отростков нервных клеток (аксонов и дендритов).

Также на общих принципах модели Ходжкина — Хаксли были разработаны несколько моделей, описывающих взаимную активацию и деактивацию в нейронных сетях, а также молекулярную динамику генерации потенциала действия.

См. такжеПравить

Синхронизация (нейробиология) Автоколебание Автоволны

Дифференциальное уравнение в частных производных Параболическое уравнение

СсылкиПравить

• Интерактивный Java-апплет модели Ходжкина — Хаксли. Параметры модели и параметры возбуждения могут меняться; возможно построение диаграмм изменения значений переменных.
• Интерактивный Java-апплет уравнений Ходжкина — Хаксли для численного решения дифференциальных уравнений Ходжкина — Хаксли.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть первая: Сurrents carried BY Sodium AND Potassium ions Through The Membrane Of The Giant AXON Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть вторая: The Components Of Membrane conductance In The Giant Axon Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть третья: The Dual Effect Of Membrane Potential On Sodium conductance In The Giant Axon Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть четвёртая: A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve.
• Neural Impulses: The Action Potential In Action. by Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project.