Модель Бозе — Хаббарда

Модель Бозе — Хаббарда даёт примерное описание физики взаимодействия бозонов на пространственной решётке. Она тесно связана с моделью Хаббарда, возникшей в физике твёрдого тела как приближённое описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами твёрдого кристаллического вещества. Слово Бозе указывает на тот факт, что частица в системе — бозон. Впервые модель была введена Х. Гершем (англ. H. Gersch) и Г. Ноллмэном (англ. G. Knollman) в 1963 году, модель Бозе — Хаббарда может использоваться при изучении систем подобных бозонным атомам в оптической решётке. В противоположность этому, модель Хаббарда применима к фермионам (электронам), а не бозонам. Кроме того, модель обобщается на сочетания Бозе- и Ферми-частиц, в этом случае, в соответствии с гамильтонианом, модель будет называться моделью Бозе — Ферми — Хаббарда.

ГамильтонианПравить

Физика этой модели описывается гамильтонианом Бозе — Хаббарда в представлении вторичного квантования:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=-<!--\; -\; -->t\underset{⟨i,j⟩}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(b_i^{†<!--\; †\; -->}{b}_j+b_j^{†<!--\; †\; -->}{b}_i\right)+\frac{U}{2}\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}}_i\left({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}}_i-<!--\; -\; -->1\right)-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}}_i,$${\hat {H}}=-t\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\left(b_{i}^{\dagger }b_{j}+b_{j}^{\dagger }b_{i}\right)+{\frac {U}{2}}\sum _{i}{\hat {n}}_{i}\left({\hat {n}}_{i}-1\right)-\mu \sum _{i}{\hat {n}}_{i},$ 

где индекс i обозначает суммирование по всем узлам решётки трёхмерной решётки, а $⟨i,j⟩$$\left\langle i,j\right\rangle$  означает суммирование по всем узлам j соседствующим с i. $b_i^{†<!--\; †\; -->}$$b_{i}^{\dagger }$  и $b_i^{}$$b_{i}^{}$  — бозонные операторы рождения и уничтожения. Оператор ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}}_i=b_i^{†<!--\; †\; -->}{b}_i$${\hat {n}}_{i}=b_{i}^{\dagger }b_{i}$  задаёт число частиц в узле i. Параметр t — это матричный элемент перехода, имеющий смысл подвижности бозонов в решётке. Параметр U описывает локальное взаимодействие частиц находящихся в одном узле, если U>0, то он описывает потенциал отталкивания и если U<0, то описывает притяжение, $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — химический потенциал. Данный гамильтониан не рассматривает эффекты, которые малы в термодинамическом пределе, а именно, когда размер системы и число узлов стремятся к бесконечности. В то же время плотность узлов остаётся конечной.

Размерность Гильбертова пространства модели Бозе — Хаббарда растёт экспоненциально по отношению к числу частиц N и узлов решётки L. Она определяется по формуле: $D_b=\frac{(N_b+L-<!--\; -\; -->1)!}{N_b!(L-<!--\; -\; -->1)!}$$D_{b}={\frac {(N_{b}+L-1)!}{N_{b}!(L-1)!}}$ , в то время как в модели Ферми — Хаббарда задаётся формулой: $D_f=\frac{L!}{N_f!(L-<!--\; -\; -->N_f)!}.$$D_{f}={\frac {L!}{N_{f}!(L-N_{f})!}}.$  Различные результаты следуют из различия статистики для фермионов и бозонов. Для смеси Бозе- и Ферми-частиц, соответствующее гильбертово пространство в модели Бозе — Ферми — Хаббарда — это прямое тензорное произведение гильбертовых пространств бозонной модели и фермионной модели.

Фазовая диаграммаПравить

При нулевой температуре, модель Бозе — Хаббарда (при отсутствии беспорядка) находится либо в состоянии изолятора Мотта — состояние с малым t/U, либо в сверхтекучем состоянии — с большим t/U. Изолятор Мотта характеризуется целочисленной плотностью бозонов, наличием запрещённой зоны для возбуждений частица-дырка и нулевой сжижаемостью. При наличии беспорядка, присутствует третья фаза «стекло Бозе». Она характеризуется конечной сжижаемостью, отсутствием запрещённой зоны, бесконечной сверхтекучестью. Это изолирующее состояние, несмотря на наличие ширины запрещённой зоны, из-за того, что низкая вероятность туннелирования предотвращает образование возбуждений, которые хотя и близки по энергиям, но пространственно разделены.

Реализация в оптических решёткахПравить

Ультрахолодные атомы в оптических решётках считаются стандартной реализацией модели Бозе — Хаббарда. Возможность изменения параметров модели при помощи простых экспериментальных методов, отсутствие динамики решётки в электронных системах — всё это обеспечивает очень хорошие условия по экспериментальному изучению этой модели.

Гамильтониан в формализме вторичного квантования описывает газ из ультрахолодных атомов в оптической решётке в следующем виде:

$H=\int <!--\; \int \; -->d^3\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\left(-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2+V_{latt.}(x)\right)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})+\frac{g}{2}\int <!--\; \int \; -->d^3\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\int <!--\; \int \; -->d^3\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{†<!--\; †\; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}),$$H=\int d^{3}{\vec {r}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{latt.}(x)\right){\hat {\psi }}({\vec {r}})+{\frac {g}{2}}\int d^{3}{\vec {r}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})-\mu \int d^{3}{\vec {r}}\psi ^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}),$ 

где $V_{latt}$$V_{latt}$  — оптический потенциал решётки, g — амплитуда взаимодействия (здесь предполагается контактное взаимодействие), $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — химический потенциал. Стандартное приближение сильно связанных электронов

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_i^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})b_i^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$${\hat {\psi }}({\vec {r}})=\sum \limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})b_{i}^{\alpha }$ 

даёт гамильтонианы Бозе — Хаббарда, если дополнительно допустить, что

$\int <!--\; \int \; -->w_i^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})w_j^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})w_k^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(r)w_l^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})d^3\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}=0$$\int w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})w_{j}^{\beta }({\vec {r}})w_{k}^{\gamma }(r)w_{l}^{\delta }({\vec {r}})d^{3}{\vec {r}}=0$ 

за исключением случаев $i=j=k=l,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=0$$i=j=k=l,\alpha =\beta =\gamma =\delta =0$ . Здесь $w_i^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})$  — это функция Ванье  (англ.) (рус. для частицы в потенциале оптической решётки, локализованном вокруг узла i решётки и для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  Блоховской зоны.

Тонкие различия и приближенияПравить

Приближение сильно связанных электронов существенно упрощает вторичное квантование гамильтониана, в то же время вводя ряд ограничений:

• Параметры U и J на самом деле могут зависеть от плотности, как отброшенные члены, они фактически не равны нулю; вместо одного параметра U, энергия взаимодействия частиц n может быть описана следующим: $U_n$$U_{n}$  примерно, но не равно U
• При рассмотрении быстрой динамики решётки, к гамильтониану Бозе — Хаббарда должны быть добавлены дополнительные условия, так что будет исполняться уравнение Шрёдингера. Оно выходит из зависимости функций Ванье от времени.

Экспериментальные результатыПравить

Квантовые фазовые переходы в модели Бозе — Хаббарда экспериментально наблюдались группой учёных из Греньера (Greiner) и др. в Германии. Параметры взаимодействия $U_n$$U_{n}$ , зависящие от плотности, наблюдались группой Эммануэля Блоха  (англ.) (рус..

Дальнейшие приложения моделиПравить

Модель Бозе — Хаббарда также представляет интерес для тех, кто работает в области квантовых вычислений и квантовой информации. С помощью этой модели можно исследовать запутанность ультрахолодных атомов.

Численное моделированиеПравить

При вычислении низкоэнергетических состояний член, пропорциональный $n^{2}U$$n^{2}U$ , что большое заниание одной стороны маловероятно, позволяя усекать местное гильбертово пространство к состояниям, содержащим не более $d<\infty$  частиц. Тогда локальная размерность гильбертова пространства будет $d+1.$$d+1.$  Размерность полного гильбертового пространства растёт экспоненциально с числом мест в решётке, поэтому компьютерным моделированием огрничиваются системы из 15-20 частиц в 15-20 узлах решётки. Экспериментальные системы содержат несколько миллионов сторон решётки со средним заполнением выше единицы. Для численной симуляции этой модели, алгоритм точной диагонализации представлен в работе под сноской.

Одномерные решётки могут быть рассмотрены методом группы ренормализации плотности матрицы  (англ.) (рус. и связанными с этим методиками, такой как алгоритм Time-evolving block decimation  (англ.) (рус.. Это включает в себя расчёт фонового состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на сторонах решётки и моделирование её динамики, регулирумой уравнение Шрёдингера. Высшие мерности решётки моделировать значительно сложнее при повышении запутанности.

Все мерности могут рассматриваться алгоритмами квантового Монте-Карло  (англ.) (рус., которые дают возможность изучать свойства тепловых состояний гамильтониана, а также конкретное фоновое состояние.

ОбобщенияПравить

Подобные Бозе — Хаббарда гамильтонианы могут быть получены для:

• систем с плотность-плотность взаимодействиями $V{n}_i{n}_j$$Vn_{i}n_{j}$ 
• дальним дипольным взаимодействием
• внутренней спиновой структурой (спин-1 модели Бозе — Хаббарда)
• неупорядоченных систем

См. такжеПравить

• Модель Хаббарда