Множество Витали

Множество Витали — первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, описал итальянский математик Джузеппе Витали в 1905 году.^[1]

ИсторияПравить

Годом ранее статьи Витали, в 1904 году, Анри Лебег опубликовал «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций», где изложил свою теорию меры и высказал надежду, что она окажется применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел. Открытие множества Витали показало, что эта надежда не оправдалась. В дальнейшем были обнаружены и другие контрпримеры, однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора.

ПостроениеПравить

Рассмотрим следующее отношение эквивалентности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sim$ на отрезке $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $[0,\;1]$ : $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x\sim y$ если разница $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x-y$ рациональна. Как обычно, это отношение эквивалентности разбивает интервал $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $[0,\;1]$ на классы эквивалентности, каждый из которых имеет счётную мощность, но их количество имеет мощность континуума. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ счётное число раз на все рациональные числа из интервала $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $[-1,1]$ , то объединение будет содержать весь отрезок $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $[0,1],$ но при этом оно будет содержаться в отрезке $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $[-1,2]$ . При этом «сдвинутые копии» множества $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sim$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ .

Предположим, что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E$ измеримо по Лебегу, тогда возможны 2 варианта.

Мера $\text{[math]}$ E равна нулю. Тогда мера интервала $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $[0,1]$ , как счётного объединения множеств меры нуль, тоже будет равна нулю.
Мера $\text{[math]}$ E больше нуля. Тогда аналогично заключаем, что мера интервала $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $[-1,2]$ , в силу счётной аддитивности меры Лебега, будет бесконечна.

В обоих случаях получается противоречие. Таким образом, множество Витали не измеримо по Лебегу.

ПримечанияПравить

↑ Vitali, Giuseppe. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta (итал.) // Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani : diario. — 1905.

ЛитератураПравить

Брылевская Л. И. К истории проблемы меры в первой половине XX века // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 97—112.
Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6..
Ященко И. В. Парадоксы теории множеств. Серия «Библиотека „Математическое просвещение“», выпуск 20, 2002. ISBN 5-94057-003-8

[1] Vitali, Giuseppe. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta (итал.) // Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani : diario. — 1905.

[1]