Многочлены Полачека

Многочлены Полачека — последовательность многочленов $P_{n}^{\lambda }(x;\varphi ),\;\lambda >0,\;0<\varphi <\pi ,\;n=\{0,1,...\}$, которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.

Рекурсивное определениеПравить

$P_{-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=0$$P_{-1}^{\lambda }=0$ 

$P_0^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=1$$P_{0}^{\lambda }=1$ 

$n{P}_n^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}-<!--\; -\; -->2\left((n-<!--\; -\; -->1+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+x\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)P_{n-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}+(n-<!--\; -\; -->2+2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})P_{n-<!--\; -\; -->2}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=0$$nP_{n}^{\lambda }-2\left((n-1+\lambda )\cos \varphi +x\sin \varphi \right)P_{n-1}^{\lambda }+(n-2+2\lambda )P_{n-2}^{\lambda }=0$ 

СвойстваПравить

• Симметричные многочлены Полачека $\left(P_n^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2)\right)$$\left(P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)\right)$  ортогональны на всей вещественной оси с весом:

$\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{2^{2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})}{|\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+ix)|}^2$${\frac {1}{2\pi }}{\frac {2^{2\lambda }}{\Gamma (2\lambda )}}{|\Gamma (\lambda +ix)|}^{2}$ , где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — гамма-функция Эйлера

• Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:

$P_n^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2)G(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},x)=\frac{{-<!--\; -\; -->1}^n}{n!}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{n}G\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\frac{n}{2}\right)$$P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)G(\lambda ,x)={\frac {{-1}^{n}}{n!}}\delta ^{n}G\left(\lambda +{\frac {n}{2}}\right)$ , где $G(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},x)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+ix)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+ix)}{e}^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}$$G(\lambda ,x)={\frac {\Gamma (\lambda +ix)}{\Gamma (1-\lambda +ix)}}e^{\pi x}$  — мероморфная функция, а $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  — оператор конечной разности $(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}F)(x)=F\left(x+\frac{i}{2}\right)-<!--\; -\; -->F\left(x-<!--\; -\; -->\frac{i}{2}\right)$$(\delta F)(x)=F\left(x+{\frac {i}{2}}\right)-F\left(x-{\frac {i}{2}}\right)$ 

ЛитератураПравить

• В. Н. Сорокин. Обобщенные многочлены Полачека (рус.) // Матем. сб.. — 2009. — Т. 200, № 4. — С. 113—130.