Многосортная алгебра

Многосортная алгебра — алгебраическая система с несколькими носителями. Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебра. Многосортные алгебры широко применяются в современном теоретическом программировании.

ФормулировкаПравить

Многосортной алгеброй называется упорядоченная пара $((A_i{)}_{i\in <!--\; \in \; -->I},\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$((A_{i})_{i\in I},\Omega )$ , где элементы семейства множеств $(A_i{)}_{i\in <!--\; \in \; -->I}$$(A_{i})_{i\in I}$  называют сортами, а множество $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , называемое многосортной сигнатурой, состоит из многосортных операций - отображений вида $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:A_{i_1}\times <!--\; \times \; -->...\times <!--\; \times \; -->A_{i_n}\to <!--\; \to \; -->A_{i_0}$$\omega :A_{i_{1}}\times ...\times A_{i_{n}}\rightarrow A_{i_{0}}$ . Операцию $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  называют при этом n-арной операцией типа $(i_0,i_1,...i_n)$$(i_{0},i_{1},...i_{n})$ .

ПримерПравить

Рассмотрим в качестве примера многосортную алгебру $(V_3,R,+(1,1,1),\cdot <!--\; \cdot \; -->(1,2,1),(\cdot <!--\; \cdot \; -->)(2,1,1),\times <!--\; \times \; -->(1,1,1),\circ <!--\; \circ \; -->(2,1,1,1))$$(V_{3},R,+(1,1,1),\cdot (1,2,1),(\cdot )(2,1,1),\times (1,1,1),\circ (2,1,1,1))$ . В качестве первого сорта используется множество $V_3$$V_{3}$  трехмерных свободных геометрических векторов, в качестве второго сорта - множество действительных чисел. Первая операция - бинарная операция $+$$+$  сложения векторов. Результатом операции является вектор, аргументами - тоже векторы, поэтому она имеет тип $(1,1,1)$$(1,1,1)$ . Вторая операция - бинарная операция $\cdot <!--\; \cdot \; -->$$\cdot$  левого умножения вектора на число. Результатом операции является вектор, первый аргумент- число, второй аргумент - вектор, поэтому она имеет тип $(1,2,1)$$(1,2,1)$ . Третья операция - бинарная операция $(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(\cdot )$  скалярного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип $(2,1,1)$$(2,1,1)$ . Четвертая операция - бинарная операция $\times <!--\; \times \; -->$$\times$  векторного умножения векторов. Результатом операции является вектор, она имеет тип $(1,1,1)$$(1,1,1)$ . Пятая операция - тернарная операция $\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$  смешанного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип $(2,1,1,1)$$(2,1,1,1)$ .

СвойстваПравить

Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебра.

ЛитератураПравить

• Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика. — М.: МГТУ, 2006. — 744 с. — ISBN 5-7038-2886-4.