Теория функционала плотности

Теория функционала плотности (англ. density functional theory, DFT) — метод расчёта электронной структуры систем многих частиц в квантовой физике и квантовой химии. В частности, применяется для расчёта электронной структуры молекул и конденсированного вещества. Является одним из наиболее широко используемых и универсальных методов в вычислительной физике и вычислительной химии. Твёрдое тело рассматривается как система, состоящая из большого числа одинаково взаимодействующих между собой электронов, удерживаемых вместе решёткой из атомных ядер. Основная идея метода заключается в использовании понятия электронной плотности в основном состоянии, её распределение описывается одночастичным уравнением Шрёдингера.

ВведениеПравить

Модель Томаса — ФермиПравить

Основная статья: Теория Томаса — Ферми

Методу теории функционала плотности предшествовала модель Томаса — Ферми, развитая Л. Томасом и Энрико Ферми в 1927 г. Они рассчитали энергию атома как сумму его кинетической энергии, представленной в виде функционала электронной плотности, и потенциальной энергии взаимодействия электронов с ядром и друг с другом; энергия взаимодействия также была выражена через электронную плотность.

Несмотря на заметную роль, которую модель Томаса — Ферми сыграла в развитии квантовой механики, её точность была недостаточной, поскольку не учитывалось обменное взаимодействие, в отличие, например, от метода Хартри — Фока. В 1928 г. Поль Дирак уточнил функционал энергии в модели Томаса — Ферми, добавив к нему слагаемое, описывающее обменное взаимодействие (это слагаемое также имело вид функционала электронной плотности).

Несмотря на это, для ряда применений модель Томаса — Ферми — Дирака не давала удовлетворительного результата. Основным источником погрешности являлось выражение кинетической энергии, приводящее к погрешности в вычислении обменной энергии. Кроме того, не учитывалась энергия электронной корреляции.

Теоремы Хоэнберга — КонаПравить

Хотя теория функционала плотности и базируется на ставшей классической модели Томаса — Ферми, надёжное теоретическое обоснование под неё было подведено только с формулировкой теорем Хоэнберга — Кона (названных так в честь Пьера Хоэнберга и Уолтера Кона).

В первой теореме доказано, что свойства основного состояния многоэлектронной системы определяются только электронной плотностью, зависящей от трех координат. Данная теорема сводит задачу об описании много-электронной системы из N электронов с 3N пространственными координатами к описанию функционала электронной плотности с тремя координатами.

Вторая теорема представляет собой вариационный принцип квантовой механики, сформулированный для функционала плотности, и утверждает, что энергия электронной подсистемы, записанная как функционал электронной плотности, имеет минимум, равный энергии основного состояния.

Первоначально теоремы Хоэнберга — Кона были сформулированы только для основного состояния электронной подсистемы в отсутствие магнитного поля. Они могут быть обобщены путём введения зависимости от времени, что позволяет использовать этот формализм для расчета состояний возбуждённых электронов.

Описание методаПравить

Традиционные методы определения электронной структуры, в частности, метод Хартри — Фока и производные от него, описывают систему с помощью многоэлектронной волновой функции. Основная цель теории функционала плотности — при описании электронной подсистемы заменить многоэлектронную волновую функцию электронной плотностью. Это ведет к существенному упрощению задачи, поскольку многоэлектронная волновая функция зависит от $3N$$3N$  переменных — по 3 пространственных координаты на каждый из $N$$N$  электронов, в то время как плотность — функция лишь трёх пространственных координат.

Как правило, метод теории функционала плотности используется совместно с формализмом Кона — Шэма, в рамках которого трудноразрешимая задача об описании нескольких взаимодействующих электронов в статическом внешнем поле (атомных ядер) сводится к более простой задаче о независимых электронах, которые движутся в некотором эффективном потенциале. Этот эффективный потенциал включает в себя статический потенциал атомных ядер, а также учитывает кулоновские эффекты, в частности, обменное взаимодействие и электронную корреляцию.

Описание двух последних взаимодействий и представляет собой основную сложность метода теории функционала плотности в формулировке Кона — Шэма. Простейшим приближением здесь является приближение локальной плотности, основанное на точном расчёте обменной энергии для пространственно однородного электронного газа, который может быть выполнен в рамках модели Томаса — Ферми, и из которого можно получить также и корреляционную энергию электронного газа.

Метод теории функционала плотности широко применяется для расчётов в физике твёрдого тела с 1970-х годов. В ряде случаев даже использование простого приближения локальной плотности дает удовлетворительные результаты, соответствующие экспериментальным данным, причём вычислительная сложность метода невысока относительно других подходов к проблеме многих частиц в квантовой механике. Тем не менее, долгое время метод был недостаточно точен для расчётов в области квантовой химии, пока в 1990-х годах не произошёл заметный сдвиг в описании обменного и корреляционного взаимодействий. В настоящее время метод теории функционала плотности является главным подходом в обеих областях. Впрочем, несмотря на прогресс в теории, все ещё имеются проблемы в приложении метода к описанию межмолекулярных сил, в особенности Ван-дер-Ваальсовых сил и дисперсионного взаимодействия, а также в расчётах ширины запрещённой зоны в полупроводниках.

Сложности с расчётом дисперсионного взаимодействия в рамках теории функционала плотности (которые возникают, как минимум, в том случае, когда этот метод не дополняется другими) делают метод теории функционала плотности малопригодным для систем, в которых дисперсионные силы являются преобладающими (например, при рассмотрении взаимодействия между атомами благородных газов) или систем, в которых дисперсионные силы имеют тот же порядок, что и другие взаимодействия (например, в органических молекулах). Решение этой проблемы является предметом современных исследований.

Формальное обоснование методаПравить

Согласно приближению Борна — Оппенгеймера, которое применяется в большинстве расчётов электронной структуры, ядра, входящие в состав рассматриваемой системы, считаются неподвижными. Электростатический потенциал $V$$V$ , создаваемый этими «неподвижными» ядрами, является внешним для электронов. Стационарное состояние электронов описывается волновой функцией $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_N)$$\Psi ({\vec {r}}_{1},\;\ldots ,\;{\vec {r}}_{N})$ , которая является решением уравнения Шрёдингера

$H\Psi =[T+V+U]\Psi =\left[\sum _{i}^{N}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i}^{N}V({\vec {r}}_{i})+\sum _{i<j}U({\vec {r}}_{i},\;{\vec {r}}_{j})\right]\Psi =E\Psi ,$ 

где $H$$H$  — гамильтониан электронной подсистемы, $N$$N$  — количество электронов, $U$$U$  описывает электрон-электронное взаимодействие. Операторы $T$$T$  и $U$$U$  одинаковы для всех систем, в то время как вид $V$$V$  зависит от конкретной системы. Как видно, основное отличие одночастичной задачи от задачи многих тел состоит в наличии слагаемого, описывающего электрон-электронное взаимодействие, $U$$U$ . Существует большое количество методов решения многочастичного уравнения Шрёдингера, основанных на разложении волновой функции с использованием определителя Слэтера. Простейший из них — метод Хартри — Фока, на основе которого развит ряд современных методов. Общей проблемой для них является значительная вычислительная трудоёмкость, из-за которой область применения метода Хартри — Фока и производных от него ограничена не слишком большими системами.

Метод теории функционала плотности в значительной степени решает проблему расчёта систем, включающих большое число частиц, путём сведения задачи о системе многих тел с потенциалом электрон-электронного взаимодействия $U$$U$  к одночастичной задаче, в которой слагаемое $U$$U$  отсутствует.

Плотность частиц, $n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$n({\vec {r}})$ , с помощью которой и строится формализм теории функционала плотности, задается выражением:

$n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=N\int <!--\; \int \; -->d^3{r}_2\int <!--\; \int \; -->d^3{r}_3\dots <!--\; \dots \; -->\int <!--\; \int \; -->d^3{r}_N{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_N)\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_N).$$n({\vec {r}})=N\int d^{3}r_{2}\int d^{3}r_{3}\ldots \int d^{3}r_{N}\Psi ^{*}({\vec {r}},\;{\vec {r}}_{2},\;\ldots ,\;{\vec {r}}_{N})\Psi ({\vec {r}},\;{\vec {r}}_{2},\;\ldots ,\;{\vec {r}}_{N}).$ 

Хоэнберг и Кон в 1964 показали, что это выражение может быть обращено: по заданной плотности частиц в основном состоянии, $n_0(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$n_{0}({\vec {r}})$ , можно найти соответствующую волновую функцию основного состояния ${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_N)$$\Psi _{0}({\vec {r}}_{1},\;\ldots ,\;{\vec {r}}_{N})$ . Иными словами, ${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0$$\Psi _{0}$  — единственный функционал от $n_0$$n_{0}$ , то есть

${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0={\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0[n_0],$$\Psi _{0}=\Psi _{0}[n_{0}],$ 

а, следовательно, все остальные наблюдаемые физические величины $O$$O$  также являются функционалами $n_0$$n_{0}$ :

$⟨<!--\; ⟨\; -->O⟩<!--\; ⟩\; -->[n_0]=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0[n_0]\mid <!--\; \mid \; -->O\mid <!--\; \mid \; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0[n_0]⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\langle O\rangle [n_{0}]=\langle \Psi _{0}[n_{0}]\mid O\mid \Psi _{0}[n_{0}]\rangle .$ 

В частности, для энергии основного состояния можно записать

$E_0=E[n_0]=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0[n_0]\mid <!--\; \mid \; -->T+V+U\mid <!--\; \mid \; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0[n_0]⟩<!--\; ⟩\; -->,$$E_{0}=E[n_{0}]=\langle \Psi _{0}[n_{0}]\mid T+V+U\mid \Psi _{0}[n_{0}]\rangle ,$ 

где вклад внешнего потенциала $⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0[n_0]\mid <!--\; \mid \; -->V\mid <!--\; \mid \; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_0[n_0]⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \Psi _{0}[n_{0}]\mid V\mid \Psi _{0}[n_{0}]\rangle$  может быть переписан через плотность частиц:

$V[n]=\int <!--\; \int \; -->V(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})d^{3}r.$$V[n]=\int V({\vec {r}})n({\vec {r}})\,d^{3}r.$ 

Функционалы $T[n]$$T[n]$  и $U[n]$$U[n]$  одинаковы для всех систем, а $V[n]$$V[n]$ , очевидно, зависит от вида рассматриваемой системы. Для заданной системы вид $V$$V$  известен, и можно минимизировать функционал

$E[n]=T[n]+U[n]+\int <!--\; \int \; -->V(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})d^{3}r$$E[n]=T[n]+U[n]+\int V({\vec {r}})n({\vec {r}})\,d^{3}r$ 

относительно распределения плотности частиц $n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$n({\vec {r}})$ , если, конечно, имеются выражения для $T[n]$$T[n]$  и $U[n]$$U[n]$ . В результате минимизации получается плотность частиц в основном состоянии $n_0$$n_{0}$ , а вместе с ней и все наблюдаемые в основном состоянии величины.

Вариационная задача отыскания минимума функционала энергии $E[n]$$E[n]$  может быть решена с помощью метода множителей Лагранжа, как это и было сделано Коном и Шэмом в 1965 г. Таким образом, функционал энергии в приведённом выше выражении может быть записан как эффективный функционал плотности частиц в одночастичной системе:

$E_s[n]=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_s[n]\mid <!--\; \mid \; -->T_s+V_s\mid <!--\; \mid \; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_s[n]⟩<!--\; ⟩\; -->,$$E_{s}[n]=\langle \Psi _{s}[n]\mid T_{s}+V_{s}\mid \Psi _{s}[n]\rangle ,$ 

где $T_s$$T_{s}$  означает кинетическую энергию свободной частицы, а $V_s$$V_{s}$  — эффективный внешний потенциал для электронной подсистемы. Ясно, что $n_s(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$n_{s}({\vec {r}})\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,n({\vec {r}})$  если $V_s$$V_{s}$  взят в виде

$V_s=V+U+(T-<!--\; -\; -->T_s).$$V_{s}=V+U+(T-T_{s}).$ 

Решение так называемых уравнений Кона — Шэма для вспомогательной системы, из которой исключено электрон-электронное взаимодействие,

$\left[-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2+V_s(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\right]{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}),$$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{s}({\vec {r}})\right]\varphi _{i}({\vec {r}})=\varepsilon _{i}\varphi _{i}({\vec {r}}),$ 

даёт орбитали ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i$$\varphi _{i}$ , по которым восстанавливается электронная плотность $n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$n({\vec {r}})$  исходной многочастичной системы:

$n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{n}_s(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=\underset{i}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}){|}^2.$$n({\vec {r}})\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,n_{s}({\vec {r}})=\sum _{i}^{N}|\varphi _{i}({\vec {r}})|^{2}.$ 

Эффективный одночастичный потенциал $V_s$$V_{s}$  записывается как

$V_s=V+\int <!--\; \int \; -->\frac{e^2{n}_s(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{}^{\prime })}{|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}{}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }+V_{\mathrm{X}\mathrm{C}}[n_s(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})],$$V_{s}=V+\int {\frac {e^{2}n_{s}({\vec {r}}\,')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}\,d^{3}r'+V_{\mathrm {XC} }[n_{s}({\vec {r}})],$ 

где второе слагаемое — слагаемое Хартри — описывает электрон-электронное кулоновское отталкивание, а последнее слагаемое $V_{\mathrm{X}\mathrm{C}}$$V_{\rm {XC}}$  называется обменно-корреляционным потенциалом. Здесь $V_{\mathrm{X}\mathrm{C}}$$V_{\mathrm {XC} }$  включает все многочастичные взаимодействия.

Поскольку слагаемое Хартри и член $V_{\mathrm{X}\mathrm{C}}$$V_{\mathrm {XC} }$  зависят от плотности $n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$n({\vec {r}})$ , которая зависит от ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i$$\varphi _{i}$ , которая, в свою очередь, зависит от $V_s$$V_{s}$ , решение самосогласованных уравнений Кона — Шэма может быть произведено с помощью итеративной процедуры последовательных приближений. Как правило, отталкиваясь от начального приближения для $n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$n({\vec {r}})$ , рассчитывается соответствующее слагаемое $V_s$$V_{s}$ , для которого затем решаются уравнения Кона — Шэма, из которых получается ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i$$\varphi _{i}$ . Отсюда можно получить следующее приближение для плотности и т. д.

ПриближенияПравить

Основная проблема, связанная с методом теории функционала плотности, заключается в том, что точные аналитические выражения для функционалов обменной и корреляционной энергии известны только для частного случая газа свободных электронов. Тем не менее, существующие приближения позволяют рассчитать ряд физических величин с достаточной точностью. В физических приложениях наиболее распространено приближение локальной плотности (LDA), в котором принято, что функционал, вычисляемый для некоторой точки пространства, зависит только от плотности в этой точке:

$E_{\mathrm{X}\mathrm{C}}[n]=\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{X}\mathrm{C}}(n)n(r)d^{3}r.$$E_{\mathrm {XC} }[n]=\int \varepsilon _{\mathrm {XC} }(n)n(r)\,d^{3}r.$ 

Приближение локальной спиновой плотности (LSDA) является непосредственным обобщением приближения локальной плотности, учитывающим спин электрона:

$E_{\mathrm{X}\mathrm{C}}[n_{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->},n_{\downarrow <!--\; \downarrow \; -->}]=\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{X}\mathrm{C}}(n_{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->},n_{\downarrow <!--\; \downarrow \; -->})n(r)d^{3}r.$$E_{\mathrm {XC} }[n_{\uparrow },\;n_{\downarrow }]=\int \varepsilon _{\mathrm {XC} }(n_{\uparrow },\;n_{\downarrow })n(r)\,d^{3}r.$ 

Достаточно точное выражение для плотности обменно-корреляционной энергии ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{X}\mathrm{C}}(n_{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->},n_{\downarrow <!--\; \downarrow \; -->})$$\varepsilon _{\mathrm {XC} }(n_{\uparrow },\;n_{\downarrow })$  было получено с помощью квантового метода Монте-Карло при расчётах газа свободных электронов.

Метод обобщённого градиентного приближения (GGA) также является локальным, но, в отличие от метода локальной плотности, учитывает градиент плотности в точке рассмотрения:

$E_{\mathrm{X}\mathrm{C}}[n_{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->},n_{\downarrow <!--\; \downarrow \; -->}]=\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{X}\mathrm{C}}(n_{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->},n_{\downarrow <!--\; \downarrow \; -->},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{n}_{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{n}_{\downarrow <!--\; \downarrow \; -->})n(r)d^{3}r.$$E_{\mathrm {XC} }[n_{\uparrow },\;n_{\downarrow }]=\int \varepsilon _{\mathrm {XC} }(n_{\uparrow },\;n_{\downarrow },\;{\vec {\nabla }}n_{\uparrow },\;{\vec {\nabla }}n_{\downarrow })n(r)\,d^{3}r.$ 

Использование этого приближения дает хорошие результаты при расчете геометрии и энергии основного состояния молекул.

Существуют и более точные приближения, которые в значительной степени позволяют решить проблему вычисления функционала обменно-корреляционной энергии.

Обобщение на случай магнитного поляПравить

Формализм метода теории функционала плотности нарушается в условиях наличия векторного потенциала, в частности, в присутствии магнитного поля. В этом случае не существует взаимно однозначного соответствия между электронной плотностью и внешним потенциалом (атомных ядер). Попытки обобщения формализма для учёта эффектов, связанных с магнитным полем, вылились в две разных теории: в теорию функционала плотности с учётом вектора плотности тока, и в теорию функционала плотности с учётом магнитного поля. В обоих случаях функционал обменно-корреляционной энергии обобщается и становится зависящим не только от электронной плотности. В первом подходе, развитом Vignale и Rasolt, помимо электронной плотности, аргументом является ещё и плотность тока. Во втором подходе (Salsbury, Grayce, Harris) дополнительным аргументом функционала служит магнитное поле, и вид функционала зависит от вида магнитного поля. Для обоих методов вычисление обменно-корреляционной энергии за рамками приближения локальной плотности (вернее, его обобщения на случай магнитного поля) оказалось весьма сложным.

ПримененияПравить

На практике, метод Кона — Шэма может быть применён несколькими различными способами, в зависимости от цели исследования. В расчётах для физики твёрдого тела до сих пор широко используется приближение локальной плотности, вкупе с базисом плоских волн. Для расчётов электронной структуры молекул требуются более сложные выражения для функционалов. Так, большое число приближенных функционалов для расчёта обменно-корреляционного взаимодействия было развито для задач химии. Некоторые из них противоречат приближению пространственно однородного электронного газа, но, тем не менее, в пределе при переходе к электронному газу должны сводиться к приближению локальной плотности.

Для расчётов физических задач наиболее часто применяется, по-видимому, уточнённая обменная модель Perdew — Burke — Ernzerhof, однако известно, что она приводит к ошибкам в калориметрических параметрах, будучи приложенной к расчётам молекул в газовой фазе.

В расчётах квантовой химии одним из распространённых является вид обменно-корреляционного функционала, называемый BLYP (Becke, Lee, Yang, Parr). Еще более широко распространено приближение B3LYP, которое основано на гибридном функционале, в котором обменная энергия рассчитывается с привлечением точного результата, полученного методом Хартри — Фока.

В целом, текущее состояние метода теории функционала плотности таково, что невозможно оценить погрешность расчёта, не сравнивая его результаты с другими подходами или с результатами экспериментов.

Программное обеспечение, которое реализует метод теории функционала плотностиПравить

Abinit — использует метод псевдопотенциала ADF AIMPRO Atomistix Toolkit CADPAC CASTEP CP2K (англ.) CPMD CRYSTAL06 DACAPO DALTON deMon2K DFT++ DMol3 EXCITING: полный потенциал, метод линеаризованных присоединённых плоских волн (LAPW) Fireball GAMESS (UK) GAMESS (US) GAUSSIAN HyperChem JAGUAR TB-LMTO-47 — метод линеаризованных маффин-тин орбиталей

MOLCAS MOLPRO MPQC NRLMOL NWChem OCTOPUS OpenMX ORCA ParaGauss [1] Архивная копия от 29 сентября 2007 на Wayback Machine PC GAMESS начиная с версии 6.4 PLATO — метод линейной комбинации атомных орбиталей ПРИРОДА PWscf (Quantum-ESPRESSO) — использует метод псевдопотенциала Q-Chem SIESTA[2] — линейно-масштабируемый метод теории функционала плотности, использует метод псевдопотенциала Spartan S/PHI/nX TURBOMOLE VASP — использует метод псевдопотенциала WIEN2k — полный потенциал, метод линеаризованных присоединённых плоских волн (LAPW)

ЛитератураПравить

• Марч Н., Кон В., Вашишта П. и др. Теория неоднородного электронного газа. — М.: Мир, 1987.
• Dreizler R., Gross E. Density Functional Theory. — Plenum Press, New York, 1995.
• Koch W., Holthausen M. C. A Chemist’s Guide to Density Functional Theory. — ed. 2. — Weinheim: Wiley-VCH, 2002.
• Parr R. G., Yang W. Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. — New York: Oxford University Press, 1989.
• R. O. Jones, O. Gunnarsson. The density functional formalism, its applications and prospects (англ.) // Rev. Mod. Phys.. — 1989. — Vol. 61, iss. 3. — P. 689–746.
• G. Kotliar, S. Y. Savrasov, K. Haule, V. S. Oudovenko, O. Parcollet, C. A. Marianetti. Electronic structure calculations with dynamical mean-field theory (англ.) // Rev. Mod. Phys.. — 2006. — Vol. 78, iss. 3. — P. 865–951.

СсылкиПравить

• Walter Kohn (Нобелевский лауреат) Видеозапись интервью с Вальтером о его работе по разработке теории функционала плотности, Vega Science Trust.  (англ.)
• Klaus Capelle A bird’s-eye view of density-functional theory  (англ.)
• Walter Kohn Nobel Lecture  (англ.)
• Кон В. Нобелевская лекция.