Метод локализации

Метод локализации — метод синтеза систем автоматического управления нелинейными и нестационарными объектами, включающий формирование управления как функции вектора скорости и обеспечивающий локализацию и подавление действия возмущений.

Формулировка задачи синтезаПравить

Рассматривает задача управления нелинейными и нестационарными объектами, модель поведения которых имеет вид

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=f(t,x,u),\\ y=g(t,x),\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x,u),\\y=g(t,x),\end{matrix}}\right.$ 

где $x\in <!--\; \in \; -->R^n$$x\in R^{n}$ ; $(y,u)\in <!--\; \in \; -->R^m$$(y,u)\in R^{m}$ ; $m⩽<!--\; ⩽\; -->n$$m\leqslant n$ ; $f$$f$  и $g$$g$  - однозначные непрерывно дифференцируемые функции. Явная зависимость правой части от $t$$t$  отражает действие возмущений, которые могут быть порождены как нестационарностью характеристик, так и действием аддитивных (сигнальных) возмущений.

Цель функционирования состоит в организации свойства:

$limy(t)=v$$\lim y(t)=v$  при $t\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$t\rightarrow \infty$ .

Динамика процесса $y(t)\to <!--\; \to \; -->v$$y(t)\rightarrow v$  должна отвечать требованиям по быстродействию и колебательности. В соответствии с этими требованиями конструируется эталонное (желаемое) дифференциальное уравнение для $y$$y$ , которому необходимо подчинить движение объекта.

Задачей синтеза является отыскание такого закона управления $u(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$u(\cdot)$ , чтобы замкнутая система

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=f(t,x,u(\cdot <!--\; \cdot \; -->)),\\ y=g(t,x)\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x,u(\cdot )),\\y=g(t,x)\end{matrix}}\right.$ 

отвечала требованиям к статике и динамике.

Идея метода локализацииПравить

Метод локализации предполагает, что управление формируется не только в виде функции состояния $x(t)$$x(t)$ , но и в функции вектора скорости $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}(t)$${\dot {x}}(t)$ . Если движение объекта описывается уравнением $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}(t)=f(t,x,u)$${\dot {x}}(t)=f(t,x,u)$ , то использование $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}$${\dot {x}}$  означает текущую оценку правой части уравнения и, следовательно, действия всех возмущений и проявления всех свойств объекта управления. Полагается, что управление имеет вид

$u=u(x,\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x},v)$$u=u(x,{\dot {x}},v)$ .

Такое управление придает дополнительные технические возможности, которые объясняются эффектом локализации, хорошо «видимым» при структурной интерпретации управления в функции вектора скорости.

Управление объектом первого порядкаПравить

Для иллюстрации метода локализации рассматривается задача управления нелинейным нестационарным объектом вида

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=f(t,x)+b(t,x)u$${\dot {x}}=f(t,x)+b(t,x)u$ , $b(t,x)>0$$b(t,x)>0$ , $(x,u)\in <!--\; \in \; -->R^1$$(x,u)\in R^{1}$ 

где $x$$x$  - состояние объекта; выход объекта $y=x$$y=x$ ; $u$$u$  - управление.

От замкнутой системы требуются динамические свойства, соответствующие дифференциальному уравнению

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=F(x,v)$${\dot {x}}=F(x,v)$ , $v\in <!--\; \in \; -->R^1$$v\in R^{1}$ ,

здесь $F$$F$  - уравнение эталонной (желаемой) динамики.

Управление организуется по закону

$u=k(F(x,v)-<!--\; -\; -->\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x})$$u=k(F(x,v)-{\dot {x}})$ ,

где $k$$k$  — положительный коэффициент. При подстановке закона управления в уравнение объекта получается система вида

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=\frac{bk}{1+bk}F(x,v)+\frac{1}{1+bk}f(t,x)$${\dot {x}}={{bk} \over {1+bk}}F(x,v)+{{1} \over {1+bk}}f(t,x)$ .

Видно, что при увеличении коэффициента $k$$k$ , находящегося в нашем распоряжении, уравнение системы приближается к заданному и в пределе, при $k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$k \rightarrow \infty$ , вырождается в него.

ЛитератураПравить

• Utkin V. I. Control systems with decoupling motions / V. I. Utkin, A. S. Vostrikov // Preprints of 7-th kongress IFAC. Helsinki (Finland), 1978. 1978. Vol. 2., p.967-973.
• Востриков А. С. Синтез систем регулирования методом локализации: Монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. 252 с.
• Востриков А. С. Проблема синтеза регуляторов для систем автоматики: состояние и перспективы. // Автометрия, 2010. №2, том 46. C. 3–19.

СсылкиПравить

• Интернет-семинара по проблемам синтеза систем автоматического регулирования