Метод бесконечного спуска

Метод бесконечного спуска — метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Существенно развит Пьером Ферма.

Часто используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме: из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше, тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего, это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

ПримерПравить

Для доказательства иррациональности $\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$  с использованием метода бесконечного спуска оно предполагается рациональным числом:

$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$ 

для некоторых натуральных чисел $p$$p$  и $q$$q$ . Тогда квадрат этого числа равен:

$2=\frac{p^2}{q^2}$$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$ ,

то есть $2q^2=p^2$$2q^{2}=p^{2}$ . Это означает, что $p$$p$  — чётное число. Для $p=2r$$p=2r$ : $p^2=(2r{)}^2=4r^2$$p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}$ , при подстановке $4r^2$$4r^{2}$  вместо $p^2$$p^{2}$ : $2q^2=4r^2$$2q^{2}=4r^{2}$ . Деление на 2 обеих частей даёт: $q^2=2r^2$$q^{2}=2r^{2}$ , значит, $q$$q$  — также чётное число. Таким образом, исходные числа $p$$p$  и $q$$q$  можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление $\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$ . С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. То есть, $\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$  не является рациональным числом.

СсылкиПравить

• Л. Курляндчик, Г. Розенблюм. Метод бесконечного спуска // Квант. — 1978. — № 1. — С. 24—27.