Метод Куммера

Метод Куммера — в теории числовых рядов способ, позволяющий заменить заданный ряд другим, сходящимся быстрее, предложен Э. Куммером.

Предположим, что имеется сходящийся числовой ряд $a_k$$a_k$ и требуется найти его сумму с заданной точностью. Для увеличения скорости сходимости этого ряда применяется метод Куммера, который состоит в следующем. Подбирается ряд $b_k$$b_{k}$ с известной суммой такой, чтобы разность

$c_k=a_k-<!--\; -\; -->b_k=o(a_k),k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c_{k}=a_{k}-b_{k}=o\,(a_{k}),\;k\to \infty$

В этом случае величину $S=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k$$S=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ можно представить в виде суммы $S=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k+\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k$$S=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ где ряд $c_k$$c_{k}$ сходится быстрее, чем исходный ряд, а сумма ряда $b_k$$b_{k}$ — известна. Это означает, что для получения суммы ряда с заданной точностью во втором случае нужно взять меньшее количество членов ряда $c_k$$c_{k}$.

Например, для повышения скорости сходимости ряда

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k^2}$$\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}$

можно воспользоваться рядом

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k(k+1)}=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{1}{k}-<!--\; -\; -->\frac{1}{k+1}\right)=1$$\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}}\right)=1$,

сумма которого известна, и записать

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k^2}=1+\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k^2(k+1)}$$\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}(k+1)}}$.

Преобразование Куммера можно применять не ко всем членам исходного ряда, а только к членам ряда, начиная с некоторого места. В этом случае несколько членов исходного ряда остаются без изменения.

ЛитератураПравить

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, п. 415.