Квазиклассическое приближение

Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, и Крамерс, и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: т. н. «старая квантовая теория» изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.

ВыводПравить

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

$-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)+V(x)\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=E\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)$ 

которое можно переписать в виде

$\frac{d^2}{d{x}^2}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)$ 

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=e^{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)}$$\Psi (x)=e^{{\Phi (x)}}$ 

Φ должна удовлетворять уравнению

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{″}(x)+{\left[{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\prime }(x)\right]}^2=\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)$$\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$ 

где ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\prime }$$\Phi '$  означает производную от $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  по x. Разделим ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\prime }(x)$$\Phi '(x)$  на действительную и мнимую части, вводя действительные функции A и B:

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\prime }(x)=A(x)+iB(x)$$\Phi '(x)=A(x)+iB(x)$ 

Тогда амплитуда волновой функции $e^{{\int <!--\; \int \; -->}^{x}A(x^{\prime })d{x}^{\prime }}$$e^{\int ^{x}A(x')dx'}$ , а фаза — ${\int <!--\; \int \; -->}^{x}B(x^{\prime })d{x}^{\prime }$${\int ^{x}B(x')dx'}$ . Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:

$A^{\prime }(x)+A(x{)}^2-<!--\; -\; -->B(x{)}^2=\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)$$A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\;$ 

$B^{\prime }(x)+2A(x)B(x)=0.$$B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;$ 

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$ . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого ${\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$\hbar ^{{-1}}$ , чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.

$A(x)=\frac{1}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^i{A}_i(x)$$A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)$ 

$B(x)=\frac{1}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^i{B}_i(x)$$B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)$ 

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

$A_0(x{)}^2-<!--\; -\; -->B_0(x{)}^2=2m\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)$$A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)$ 

$A_0(x)B_0(x)=0$$A_{0}(x)B_{0}(x)=0$ 

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить $A_0(x)=0$$A_{0}(x)=0$  и получить

$B_0(x)=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{2m\left(E-<!--\; -\; -->V(x)\right)}$$B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}$ 

Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)\approx <!--\; \approx \; -->C\frac{e^{i\int <!--\; \int \; -->dx\sqrt{\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(E-<!--\; -\; -->V(x)\right)}+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(E-<!--\; -\; -->V(x)\right)}}$$\Psi (x)\approx C{\frac {e^{{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}$ 

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим $B_0(x)=0$$B_{0}(x)=0$  и получим

$A_0(x)=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{2m\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)}$$A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}$ 

Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)\approx <!--\; \approx \; -->\frac{C_{+}{e}^{+\int <!--\; \int \; -->dx\sqrt{\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)}}+C_{-<!--\; -\; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->dx\sqrt{\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)}}$$\Psi (x)\approx {\frac {C_{{+}}e^{{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}+C_{{-}}e^{{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$ 

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где $E=V(x)$$E=V(x)$  и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота.

Обозначим классическую точку поворота $x_1$$x_{1}$ . Вблизи $E=V(x_1)$$E=V(x_{1})$ , можно разложить $\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)$${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$  в ряд.

$\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)=U_1(x-<!--\; -\; -->x_1)+U_2(x-<!--\; -\; -->x_1{)}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->$${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots$ 

Для первого порядка получим

$\frac{d^2}{d{x}^2}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=U_1(x-<!--\; -\; -->x_1)\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)$ 

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=\sqrt{x-<!--\; -\; -->x_1}\left(C_{+\frac{1}{3}}{J}_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x-<!--\; -\; -->x_1{)}^{\frac{1}{3}}\right)+C_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}}{J}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x-<!--\; -\; -->x_1{)}^{\frac{1}{3}}\right)\right)$$\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{{+{\frac {1}{3}}}}J_{{+{\frac {1}{3}}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\right)+C_{{-{\frac {1}{3}}}}J_{{-{\frac {1}{3}}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\right)\right)$ 

Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между $C,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$C,\theta$  и $C_{+},C_{-<!--\; -\; -->}$$C_{{+}},C_{{-}}$ :

$C_{+}=\frac{1}{2}C\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}\right)$$C_{{+}}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$ 

$C_{-<!--\; -\; -->}=-<!--\; -\; -->C\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}\right)$$C_{{-}}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$ 

Что завершает построение глобального решения.

ЛитератураПравить

• Покровский В. Л. Квазиклассическое приближение. Архивная копия от 16 июня 2011 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
• ВКБ-метод. Архивная копия от 15 марта 2012 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
• Фрёман H., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. — М.: Мир, 1967. — 166 с.
• Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 296 с.