Мера Эрроу — Пратта

Мера Эрроу — Пратта — применяемая в экономической теории мера неприятия риска.

ОпределениеПравить

Абсолютная мера неприятия риска Эрроу — Пратта определяется следующим образом:

$R_a=-<!--\; -\; -->\frac{u^{″}(x)}{u^{\prime }(x)}=-<!--\; -\; -->\frac{d\ln <!--\; \; -->MU(x)}{dx}$$R_{a}=-{\frac {u''(x)}{u'(x)}}=-{\frac {d\ln MU(x)}{dx}}$ ,

то есть равна производной логарифма предельной полезности по объёму потребления (с обратным знаком).

Относительная мера неприятия риска Эрроу — Пратта равна эластичности предельной полезности по объёму потребления (также с обратным знаком):

$R=-<!--\; -\; -->\frac{x{u}^{″}(x)}{u^{\prime }(x)}=-<!--\; -\; -->\frac{d\ln <!--\; \; -->MU(x)}{d\ln <!--\; \; -->x}$$R=-{\frac {xu''(x)}{u'(x)}}=-{\frac {d\ln MU(x)}{d\ln x}}$ 

Теорема ПраттаПравить

Теорема Пратта утверждает эквивалентность следующих трёх способов ранжирования неприятия риска.

Первый способ — по мере Эрроу — Пратта — чем больше, тем больше степень неприятия риска.

Второй способ — потребитель 1 имеет большую степень неприятия риска, чем потребитель 2, если существует строго возрастающая строго вогнутая (выпуклая вверх) функция $G$$G$ , такая что $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,u_1(x)=G(u(x))$$\forall x,u_{1}(x)=G(u(x))$ , где $u_1(x),u_2(x)$$u_{1}(x),u_{2}(x)$ - функции полезностей первого и второго потребителя соответственно.

Третий способ — неприятие риска тем больше, чем больше так называемое вознаграждение за риск $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)$$\pi (x)$  (для всех $x$$x$ ), определяемая как такая величина, что $Eu(x)=u(Ex-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x))$$Eu(x)=u(Ex-\pi (x))$ , то есть величина $Ex-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)$$Ex-\pi (x)$  является безрисковым эквивалентом $x$$x$ .

В теореме предполагается дважды непрерывная дифференцируемость функций полезности со стандартными условиями положительности первой производной (предельной полезности) и неположительности второй (невозрастание предельной полезности, то есть вогнутость или выпуклость вверх функций полезности).

Можно показать, что требуемое вознаграждение за риск в первом приближении выражается через меру Эрроу-Пратта $r(x)$$r(x)$  следующим образом $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)=r(x){\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2/2$$\pi (x)=r(x)\sigma ^{2}/2$ , где ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$\sigma ^{2}$  — дисперсия лотереи.

Функции полезности постоянными мерами Эрроу — ПраттаПравить

Для функции с постоянной абсолютной мерой неприятия риска Эрроу — Пратта общий вид функции полезности следующий:

$u(x)=c_1-<!--\; -\; -->c_2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x}$$u(x)=c_{1}-c_{2}e^{-\alpha x}$ .

Параметр $c_1$$c_{1}$  здесь фактически определяет максимальную полезность, достигаемую асимптотически с ростом $x$$x$ .

Для функции с постоянной относительной мерой неприятия риска Эрроу — Пратта общий вид функции полезности следующий:

$u(x)=c_{1}+c_{2}{\frac {x^{1-\theta }}{1-\theta }},\theta <>1$ .

В частном (особом) случае единичной эластичности ($\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1$$\theta =1$ ) функция полезности имеет вид:

$u(x)=c_1+c_2\ln <!--\; \; -->x$$u(x)=c_{1}+c_{2}\ln x$ .