Матрица Сильвестра

Матрица Сильвестра — матрица, позволяющая вычислить результант двух многочленов. Введена английским математиком Джеймсом Сильвестром.

ОпределениеПравить

Пусть даны многочлены

$A(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n{x}^n$$A(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ ,

$B(x)=\underset{i=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i{x}^i=b_0+b_{1}x+\dots <!--\; \dots \; -->+b_m{x}^m$$B(x)=\sum _{{i=0}}^{{m}}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}$ .

Тогда матрицей Сильвестра для этих многочленов будет квадратная матрица $(n+m)\times <!--\; \times \; -->(n+m)$$(n+m)\times (n+m)$  вида

$S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &\cdots &a_{0}&0&\cdots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &\cdots &b_{0}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{m}&\cdots &\cdots &b_{1}&b_{0}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&b_{m}&\cdots &b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}$ .

Количество строк матрицы, содержащих коэффициенты многочлена $a(x)$$a(x)$ , равно $m$$m$ , а многочлена $b(x)$$b(x)$  — $n$$n$ . Результант многочленов находится как определитель этой матрицы:

$R(A,B)=det{S}_{A,B}$$R(A,B)=\det S_{{A,B}}$ .

ПримерПравить

Для многочленов

$A(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$$A(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ ,

$B(x)=b_3{x}^3+b_2{x}^2+b_{1}x+b_0$$B(x)=b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}$ 

матрица Сильвестра будет выглядеть так:

$S_{{A,B}}={\begin{pmatrix}a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0&0&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}&0\\0&b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}$ .

См. такжеПравить

• Матрица Безу^[en]

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Sylvester Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Application to Elimination Theory