Масштабный коэффициент (космология)

Космологический масштабный коэффициент — параметр уравнения Фридмана, что является показателем изменения расстояния между галактиками в результате расширения (или сжатия) Вселенной. Космологический масштабный коэффициент обозначается обычно буквой $a$$a$, зависит от времени, а его логарифмическая производная по времени равна постоянной Хаббла:

$H=\frac{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}(t)}{a(t)}$$H={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}$.

Обычно космологический масштабный коэффициент выбирают безразмерным, его настоящее значение $a(t_0)=1$$a(t_{0})=1$, где $t_0$$t_0$ — возраст Вселенной, начиная от Большого взрыва. Его можно также выбрать соразмерным с размерностью длины.

Масштабный коэффициент входит в метрику Фридмана-Леметра-Робертсона-Вокера

$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-<!--\; -\; -->\frac{d{r}^2}{1-<!--\; -\; -->k{r}^2/a^2}-<!--\; -\; -->r^2(d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2+{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2)$$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}/a^{2}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$.

Эту метрику можно получить из следующих соображений (для k = 1): пусть однородно заполненное веществом пространство является сферой в четырёхмерном гиперпространстве с координатами $x_1,x_2,x_3,x_4,$$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},$. Уравнение гиперсферы:

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=a^2$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=a^{2}$.

Исключая с помощью этого уравнения $x_4$$x_{4}$, выражение для элемента длины в сферической системе координат будет иметь вид:

$d{l}^2=\frac{d{r}^2}{1-<!--\; -\; -->r^2/a^2}+r^2(d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2+{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2)$$dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-r^{2}/a^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$,

что и даёт приведённую выше метрику. Согласно этим уравнениям коэффициент $a$$a$ можно интерпретировать как кривизну трёхмерного пространства.

ИсточникиПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля.. — Наука., 1974.