Масштабирующая функция

В теории всплесков масштабирующей функцией называют функцию удовлетворяющую уравнению

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=\sqrt{2}\underset{k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{h}_k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(2x+k).$$\varphi (x)={\sqrt {2}}\sum \limits _{k\in \mathbb {Z} }h_{k}\varphi (2x+k).$

Это уравнение называют двухмасштабным соотношением или масштабирующим уравнением во временной области. Набор коэффициентов $\{h_k{\}}_{k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$$\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ называется маской или фильтром.

Обозначив $m_0(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{h}_k{e}^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}in\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$$m_{0}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum \limits _{k\in \mathbb {Z} }h_{k}e^{2\pi in\xi }$ и применив преобразование Фурье к обеим частям масштабирующего уравнения получим

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=m_0(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}/2)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}/2).$${\widehat {\varphi }}(\xi )=m_{0}(\xi /2){\widehat {\varphi }}(\xi /2).$

Это уравнение называют масштабирующим уравнением в частотной области.

ЛитератураПравить

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0585470901
• Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5922106422