Уравнение с малым параметром

Уравнение с малым параметром — скалярное или векторное дифференциальное уравнение, в котором имеется коэффициент, малый по сравнению с другими. Этот параметр может стоять в правой части дифференциального уравнения, при этом говорят о регулярном возмущении уравнения. Кроме того, малый параметр может стоят при старшей производной, в этом случае говорят о сингулярном возмущении.

Регулярно возмущённая задача Коши (начальная задача):

\text{[math]}

{\begin{cases}{\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^{0}\end{cases}}

{\begin{cases}{\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^{0}\end{cases}}

,

при определённых условиях на правую часть её решение существует, единственно и, кроме того, имеет непрерывную зависимость от малого параметра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ .

Для решения уравнений с малым параметром в математической физике применяются специальные методы. Это связано с наличием различных эффектов, в том числе эффекта пограничного слоя.

Иногда под уравнением с малым параметром понимают и уравнение, малый параметр в котором стоит при производной по нормали в естественном граничном условии.

Часто в приложениях возникают задачи, в которых малый параметр стоит при старшей производной, например:

\text{[math]}

{\begin{cases}\varepsilon {\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^{0}\end{cases}}

{\begin{cases}\varepsilon {\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^{0}\end{cases}}

.

Такую задачу принято называть сингулярно возмущённой. Если формально положить малый параметр равным нулю, то первое уравнение системы перестанет быть дифференциальным. По этой причине решение уравнения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $0=f(y,t,0)$ $0=f(y,t,0)$ может не удовлетворять начальному значению $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y^{0}$ $y^{0}$ . Именно в таких задачах может наблюдаться эффект пограничного слоя. Решение вблизи окрестности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=0$ $t=0$ справа испытывает резкое изменение. Эта область характеризуется большими градиентами и её часто называют областью погранслоя. Для решения подобных систем применяют асимптотические методы. Наиболее известны из них — метод Тихонова и метод Васильевой.

ЛитератураПравить

Дифференциальные уравнения с малым параметром при производных — статья из Математической энциклопедии. А. В. Васильева