Лямбда-матрица

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем:

$A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l}+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.$

Связанные определенияПравить

Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени $l$$l$  и нет элементов матрицы степени большей чем $l$$l$ , то $l$$l$  — степень λ-матрицы. Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде

$A\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=A_l{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^l+A_{l-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{l-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+A_1\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+A_0,$$A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},$ 

где все $A_j$$A_{j}$  — матрицы. В случае если определитель матрицы $A_l$$A_{l}$  отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной. Пример нерегулярной λ-матрицы:

$A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2}+\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^{2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.$ 

Алгебра λ-матрицПравить

Сложение и умножениеПравить

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица. Пусть $A\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)$$A\left(\lambda \right)$  и $B\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)$$B\left(\lambda \right)$  — λ-матрицы одного и того же порядка, имеющие степени $l$$l$  и $m$$m$  соответственно, и $k=max\left\{l,m\right\}$$k=\max \left\lbrace l,m\right\rbrace$ . Тогда можно записать, что

$A\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=A_k{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^k+A_{k-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+A_1\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+A_0,$$A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},$ 

$B\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=B_k{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^k+B_{k-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+B_1\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+B_0,$$B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_{0},$ 

где хотя бы одна из матриц $A_k$$A_k$  и $B_k$$B_{k}$  — ненулевая. Отсюда

$A\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)+B\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=(A_k+B_k){\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^k+(A_{k-<!--\; -\; -->1}+B_{k-<!--\; -\; -->1}){\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(A_1+B_1)\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+(A_0+B_0),$$A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0}),$ 

$A\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)B\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=A_k{B}_k{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{2k}+(A_k{B}_{k-<!--\; -\; -->1}+A_{k-<!--\; -\; -->1}{B}_k){\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{2k-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(A_1{B}_0+A_0{B}_1)\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+(A_0{B}_0).$$A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_{0}).$ 

ДелениеПравить

Предположим, что $B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$B(\lambda )$  — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы $Q(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$Q(\lambda )$  и $R(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$R(\lambda )$  с $R(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$R(\lambda )\equiv 0$  или со степенью $R(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$R(\lambda )$ , меньшей степени $B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$B(\lambda )$ , что

$A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=Q(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})+R(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )$ .

В этом случае $Q(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$Q(\lambda )$  называется правым частным $A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )$  при делении на $B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$B(\lambda )$ , а $R(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$R(\lambda )$  — правым остатком. Подобно этому $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Q}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$${\hat {Q}}(\lambda )$  и $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{R}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$${\hat {R}}(\lambda )$  — левое частное и левый остаток при делении $A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )$  на $B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$B(\lambda )$ , если

$A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Q}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})+\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{R}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )$ 

и $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{R}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\equiv <!--\; \equiv \; -->0$${\hat {R}}(\lambda )\equiv 0$  или степень $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{R}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$${\hat {R}}(\lambda )$  меньше степени $B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$B(\lambda )$ .

Если правый (левый) остаток равен 0, то $Q(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$Q(\lambda )$  $(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Q}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}))$$({\hat {Q}}(\lambda ))$  называется правым (левым) делителем $A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )$  при делении на $B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$B(\lambda )$ .

Если $B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$B(\lambda )$  — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении $A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )$  на $B(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$B(\lambda )$  существуют и единственны.

λ-матрицы с матричными аргументамиПравить

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

$a_l{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^l+a_{l-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{l-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_1\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+a_0={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^l{a}_l+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{l-<!--\; -\; -->1}{a}_{l-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{a}_1+a_0,$$a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l}a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0},$ 

поэтому мы определяем правое значение $A(B)$$A(B)$  λ-матрицы $A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )$  в матрице $B$$B$  как

$A\left(B\right)=A_l{B}^l+A_{l-<!--\; -\; -->1}{B}^{l-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+A_{1}B+A_0$$A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0}$ , если $A\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=A_l{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^l+A_{l-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{l-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+A_1\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+A_0$$A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0}$ 

и левое значение $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(B)$${\hat {A}}(B)$  как:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}\left(B\right)=B^l{A}_l+B^{l-<!--\; -\; -->1}{A}_{l-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+B{A}_1+A_0$${\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+A_{0}$ ,

и в общем случае $A(B)\ne <!--\; \ne \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(B)$$A(B)\neq {\hat {A}}(B)$ .

Теорема Безу для λ-матрицПравить

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы $A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )$  на $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E-<!--\; -\; -->B$$\lambda E-B$ , где $E$$E$  — единичная матрица, является $A(B)$$A(B)$  и $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(B)$${\hat {A}}(B)$  соответственно.

Свойство доказывается через следующее разложение на множители:

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{j}E-<!--\; -\; -->B^j=({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{j-<!--\; -\; -->1}E+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{j-<!--\; -\; -->2}B+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{B}^{j-<!--\; -\; -->2}+B^{j-<!--\; -\; -->1})(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E-<!--\; -\; -->B).$$\lambda ^{j}E-B^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B).$ 

При умножении обеих частей этого равенства на $A_j$$A_{{j}}$  слева и сложении всех полученных равенств при $j=1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,l$$j=1,\cdots ,l$  правая часть будет иметь вид $C(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E-<!--\; -\; -->B)$$C(\lambda )(\lambda E-B)$ , где $C(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$\ C(\lambda )$  — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства, в свою очередь, будет равна

$\underset{j=1}{\overset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^j{A}_j-<!--\; -\; -->\underset{j=1}{\overset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_j{B}^j=\underset{j=0}{\overset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^j{A}_j-<!--\; -\; -->\underset{j=0}{\overset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_j{B}^j=A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})-<!--\; -\; -->A(B).$$\sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A(B).$ 

Таким образом,

$A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=C(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E-<!--\; -\; -->B)+A(B)$$A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda E-B)+A(B)$ .

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного выражения на $A_j$$A_{{j}}$  справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица $A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$A(\lambda )$  делилась без остатка на $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}E-<!--\; -\; -->B$$\lambda E-B$  справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы $A(B)=0$$A(B)=0$  $\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(B)=0\right)$$\left({\hat {A}}(B)=0\right)$ .

ЛитератураПравить

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер, П. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1982.