Экстремум

Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом $\star <!--\; \star \; -->$$\star$, её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — ◇, локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.

ОпределенияПравить

Пусть дана функция $f:M\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},$$f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$  и $x_0\in <!--\; \in \; -->M^0$$x_{0}\in M^{0}$  — внутренняя точка области определения $f.$$f.$  Тогда

• $x_0$$x_{0}$  называется точкой локального максимума функции $f,$$f,$  если существует проколотая окрестность $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{U}(x_0)$${\dot {U}}(x_{0})$  такая, что

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{U}(x_0)f(x)⩽<!--\; ⩽\; -->f(x_0);$$\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$ 

• $x_0$$x_{0}$  называется точкой локального минимума функции $f,$$f,$  если существует проколотая окрестность $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{U}(x_0)$${\dot {U}}(x_{0})$  такая, что

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{U}(x_0)f(x)⩾<!--\; ⩾\; -->f(x_0).$$\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$ 

• $x_0$$x_{0}$  называется точкой глобального (абсолютного) максимума, если

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->Mf(x)⩽<!--\; ⩽\; -->f(x_0);$$\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$ 

• $x_0$$x_{0}$  называется точкой глобального (абсолютного) минимума, если

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->Mf(x)⩾<!--\; ⩾\; -->f(x_0).$$\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$ 

Если неравенства выше строгие, то $x_0$$x_{0}$  называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции $f(x_0)$$f(x_{0})$  называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

ЗамечаниеПравить

Функция $f,$$f,$  определённая на множестве $M,$$M,$  может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например, $f(x)=x,x\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->1,1).$$f(x)=x,\;x\in (-1,1).$ 

Необходимые условия существования локальных экстремумовПравить

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка $x_0$$x_{0}$  является точкой экстремума функции $f$$f$ , определенной в некоторой окрестности точки $x_0$$x_{0}$ .

Тогда либо производная $f^{\prime }(x_0)$$f'(x_{0})$  не существует, либо $f^{\prime }(x_0)=0$$f'(x_{0})=0$ .

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции $f(x)=x^3$$f(x)=x^{3}$ .

Достаточные условия существования локальных экстремумовПравить

• Пусть функция $f\in <!--\; \in \; -->C(x_0)$$f\in C(x_{0})$  непрерывна в $x_0\in <!--\; \in \; -->M^0,$$x_{0}\in M^{0},$  и существуют конечные или бесконечные односторонние производные $f_{+}^{\prime }(x_0),f_{-<!--\; -\; -->}^{\prime }(x_0)$$f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$ . Тогда при условии

$f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0$ 

$x_0$$x_{0}$  является точкой строгого локального максимума. А если

$f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,$ 

то $x_0$$x_{0}$  является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не обязательно дифференцируема в точке $x_0$$x_{0}$ .

• Пусть функция $f$$f$  непрерывна и дважды дифференцируема в точке $x_0$$x_{0}$ . Тогда при условии

$f^{\prime }(x_0)=0$$f'(x_{0})=0$  и $f''(x_{0})<0$ 

$x_0$$x_{0}$  является точкой локального максимума. А если

$f^{\prime }(x_0)=0$$f'(x_{0})=0$  и $f^{″}(x_0)>0$$f''(x_{0})>0$ 

то $x_0$$x_{0}$  является точкой локального минимума.

• Пусть функция $f$$f$  дифференцируема $n$$n$  раз в точке $x_0$$x_{0}$  и $f^{\prime }(x_0)=f^{″}(x_0)=\cdots <!--\; \cdots \; -->=f^{(n-<!--\; -\; -->1)}(x_0)=0$$f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{{(n-1)}}(x_{0})=0$ , а $f^{(n)}(x_0)\ne <!--\; \ne \; -->0$$f^{{(n)}}(x_{0})\neq 0$ .

Если $n$$n$  чётно и $f^{{(n)}}(x_{0})<0$ , то $x_0$$x_{0}$  — точка локального максимума. Если $n$$n$  чётно и $f^{(n)}(x_0)>0$$f^{{(n)}}(x_{0})>0$ , то $x_0$$x_{0}$  — точка локального минимума. Если $n$$n$  нечётно, то экстремума нет.

См. такжеПравить

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум

ЛитератураПравить

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.