Локальное поле

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

ОпределениеПравить

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

ТипыПравить

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

• Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  и поле комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ .
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа ${\mathbb{Q}}_p$$\Q_p$  и их конечные расширения.
• Неархимедовы локальные поля характеристики $p\ne <!--\; \ne \; -->0$$p\neq 0$ : формальные ряды Лорана над конечным полем ${\mathbb{F}}_{p^n}$$\mathbb {F} _{p^{n}}$  и их конечные расширения.

СвойстваПравить

Общие свойстваПравить

• Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
• На любом локальном поле $K$$K$  можно ввести абсолютную величину $|a|$$|a|$  такую, что

  $|a|=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(aX)}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(X)}$$|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}$ 

для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества $X\subset <!--\; \subset \; -->K$$X\subset K$  с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поляПравить

• В неархимедовом локальном поле $K$$K$  с абсолютной величиной $|\ast <!--\; \ast \; -->|$$|{*}|$  можно дать следующие определения:
  • Кольцо целых чисел

    $\mathcal{O}=\{a\in <!--\; \in \; -->K:|a|⩽<!--\; ⩽\; -->1\}.$${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$ 

    • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в $(K,|\ast <!--\; \ast \; -->|)$$(K,|{*}|)$ .
  • Единицы в кольце целых чисел определяются как ${\mathcal{O}}^{\times <!--\; \times \; -->}=\{a\in <!--\; \in \; -->K:|a|=1\}$${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$ .
    • Они образуют группу и единичную сферу в $(K,|\ast <!--\; \ast \; -->|)$$(K,|{*}|)$ .
  • Единственный ненулевой простой идеал $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$  в кольце целых чисел является открытым единичным шаром

    $\{a\in K:|a|<1\},$ 

и его образующий элемент $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{m}$$\omega \in {\mathfrak {m}}$  называется униформизирующим элементом $K$$K$ .

• Поле остатков $k=\mathcal{O}/\mathfrak{m}$$k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$  является конечным, поскольку компактно и дискретно.
• При этом $|\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}|=\frac{1}{|k|}$$|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$ , где $|k|$$|k|$  — мощность поля остатков $k$$k$ .

• Каждый ненулевой элемент $a\in <!--\; \in \; -->K$$a\in K$  можно записать как $a={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^n\cdot <!--\; \cdot \; -->u$$a=\omega ^{n}\cdot u$ , где $u$$u$  — единичный элемент, $n$$n$  — целое число, определяемое однозначно по $a$$a$ .
  • В частности $|a|=|k{|}^{-<!--\; -\; -->n}=|\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{|}^n.$$|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$ 

См. такжеПравить

Глобальное поле