Логнормальное распределение

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Логнормальное
μ=0Плотность вероятности
μ=0Функция распределения
Обозначение	$\ln <!--\; \; -->N(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$\ln N(\mu ,\sigma ^{2})$, $LN(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$LN(\mu ,\sigma ^{2})$
Параметры	$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}>0$$\sigma >0$ $-\infty <\mu <\infty$
Носитель	$x\in <!--\; \in \; -->(0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$x\in (0;+\infty )$
Плотность вероятности	$\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->{\left[\frac{\ln <!--\; \; -->(x)-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}\right]}^2/2\right)/\left(x\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)$$\exp \left(-\left.\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right]^{2}\right/2\right)\left/\left(x\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)\right.$
Функция распределения	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left[\frac{\ln <!--\; \; -->(x)-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2}}\right]$${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$
Математическое ожидание	$e^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2/2}$$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$
Медиана	$e^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$e^{{\mu }}$
Мода	$e^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}$$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$
Дисперсия	$(e^{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}-<!--\; -\; -->1)e^{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}$$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$
Коэффициент асимметрии	$(e^{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}+2)\sqrt{e^{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}-<!--\; -\; -->1}$$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1}}$
Коэффициент эксцесса	$e^{4{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}+2e^{3{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}+3e^{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}-<!--\; -\; -->6$$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\!\!-6$
Дифференциальная энтропия	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
Производящая функция моментов	$\mathrm{E}<!--\; \; -->[X^s]=e^{s\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\frac{1}{2}{s}^2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}.$$\operatorname {E}[X^{s}]=e^{{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}}.$
Характеристическая функция	$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(it{)}^n}{n!}{e}^{n\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+n^2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2/2}$$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

ОпределениеПравить

Пусть распределение случайной величины $X$$X$  задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

$$f_X(x)=\frac{1}{x\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{e}^{-<!--\; -\; -->(\ln <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{)}^2/2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2},$$

 

где $x>0,\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}>0,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x>0,\;\sigma >0,\;\mu \in {\mathbb {R}}$ . Тогда говорят, что $X$$X$  имеет логнормальное распределение с параметрами $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  и $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ . Пишут: $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$X\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ .

МоментыПравить

Формула для $k$$k$ -го момента логнормальной случайной величины $X$$X$  имеет вид:

$\mathbb{E}\left[X^k\right]=e^{k\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\frac{k^2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}{2}},k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N},$${\mathbb {E}}\left[X^{k}\right]=e^{{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}}},\;k\in {\mathbb {N}},$ 

откуда в частности:

$\mathbb{E}[X]=e^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}{2}}$${\mathbb {E}}[X]=e^{{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}$ ,

$\mathrm{D}[X]=\left(e^{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}-<!--\; -\; -->1\right)e^{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}$${\mathrm {D}}[X]=\left(e^{{\sigma ^{2}}}-1\right)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$ .

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n=e^{(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},n)+\frac{1}{2}(n,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}n)}$$\alpha _{{n}}=e^{{(\mu ,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)}}$ , где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  и $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  — параметры многомерного совместного распределения. $n$$n$  — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, $n=(2,0)$$n=(2,0)$  — второй нецентральный момент первой компоненты, $n=(1,1)$$n=(1,1)$  — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределенияПравить

• Если $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$  — независимые логнормальные случайные величины, такие что $X_i\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2)$$X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma _{i}^{2})$ , то их произведение также логнормально:

  $Y=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{X}_i\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}\left(n\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2\right)$$Y=\prod \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}\left(n\mu ,\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)$ .

Связь с другими распределениямиПравить

• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$X\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ , то $Y=\ln <!--\; \; -->(X)\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$Y=\ln(X)\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ .

И наоборот, если $Y\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$Y\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ , то $X=\exp <!--\; \; -->(Y)\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$X=\exp(Y)\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ .

Моделирование логнормальных случайных величинПравить

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщенияПравить

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна.

ПриложенияПравить

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако здесь есть исключения, например, размер астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение.

ЛитератураПравить

• Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editors) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, vol. 88, Statistics: Textbooks and Monographs, New York: Marcel Dekker, Inc., с. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0 
• Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
• Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormal distributions across the sciences: keys and clues (англ.) // BioScience  (англ.) (рус. : journal. — 2001. — Vol. 51, no. 5. — P. 341—352. — doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
• Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
• Holgate, P. The lognormal characteristic function (неопр.) // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 1989. — Т. 18, № 12. — С. 4539—4548. — doi:10.1080/03610928908830173.
• Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales  (англ.) (рус.. The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion (англ.) // Advances in Futures and Options Research : journal. — 1994. — Vol. 7.