Лемма о шестой окружности

Лемма о шестой окружности^[1] утверждает следующее.

Теорема Микеля о шести окружностях утверждает то, что если пять окружностей имеют четыре тройные точки пересечения, то оставшиеся четыре точки пересечения лежат на шестой окружности

Во вписанном в (первую) окружность четырёхугольнике $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A B C D$ $ABCD$ через четыре пары вершин $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B$ $B$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B$ $B$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C$ $C$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C$ $C$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D$ $D$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D$ $D$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ провели по одной окружности (еще четыре окружности) так, что точки их попарного пересечения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ лежат внутри первой окружности. Тогда $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ лежат на одной (шестой) окружности.

Рисунок справа ниже будет соответствовать последней формулировке теоремы, если обозначить $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}$ $Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}$ .

ЗамечаниеПравить

Сформулированную выше теорему также называют теоремой Микеля о шести окружностях без её привязки к конкретному четырёхугольнику (см. рис. ниже).) Пусть на окружности заданы 4 точки, «А», «B», «C» и «D», и 4 окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в 4 других точках W, X, Y и Z. Тогда последние 4 точки лежат на общей окружности. Эта теорема известна, как «теорема о шести окружностях»'^[2] (см. рис).

Японская теорема (Japanese theorem)

СледствияПравить

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A B C D$ $ABCD$ — вписанный четырёхугольник. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1}$ $A_{1}$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ на диагональ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B D$ $BD$ ; аналогично определяются точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B_{1},C_{1},D_{1}$ $B_{1},C_{1},D_{1}$ . Тогда точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A B C D$ $ABCD$ — вписанный четырёхугольник. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1}$ $A_{1}$ — центр вписанной окружности треугольника BCD; аналогично определяются точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B_{1},C_{1},D_{1}$ $B_{1},C_{1},D_{1}$ . Тогда $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — прямоугольник. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности. Это следствие иногда называют называют японской теоремой (Japanese theorem)(см. рис.).

Пусть окружность, вписанная в произвольный треугольник $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A B C$ $ABC$ , касается стороны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A C$ $AC$ в точке $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ , а вневписанная окружность касается стороны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A C$ $AC$ в точке $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Y$ $Y$ . Тогда точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1},Y,C_{1},X$ $A_{1},Y,C_{1},X$ лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
В треугольнике $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A B C$ $ABC$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1},C_{1}$ $A_{1},C_{1}$ — основания перпендикуляров, опущенных на биссектрису угла $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B$ $B$ из вершин $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C$ $C$ соответственно; $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $BB_{1}$ $BB_{1}$ — высота, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D_{1}$ $D_{1}$ — середина стороны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A C$ $AC$ . Тогда точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D_{1}$ $D_{1}$ лежат на одной окружности. Более того, центр окружности, проходящей через точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ , лежит на окружности девяти точек треугольника ABC. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.

ИсторияПравить

Теорема Микеля для пятиугольника

Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем^[3].

Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»^[4]

Возможные вариации и обобщенияПравить

Интересно то, что дальнейшее обобщение этой теоремы до Леммы о седьмой окружности невозможно. На это указывает следующий контрпример в виде рисунка справа, взятого из раздела Точка Микеля (см. параграф «Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)»). На это указывает следующее очевидное утверждение:

«Если 5 окружностей (на рисунке они чёрного цвета) имеют 5 точек их попарного пересечения M, N, P, R, Q , лежащих на одной (синей) окружности (всего 6 окружностей), то из этого, в общем случае, вовсе не следует то, что 5 других (не упомянутых выше) точек их попарного пересечения A, B, C, D, E также будут лежать на одной окружности (на 7-ой окружности)).» На рисунке это достаточно очевидно, так как пятиугольник ABCDE явно не вписан в окружность (7-ую по счету).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Вокруг задачи Архимеда. Лемма 4 Архивная копия от 29 апреля 2016 на Wayback Machine, рис. 10, c. 5
↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 94
↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 352
↑ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. pp. 151–152

ЛитератураПравить

Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, vol. 19, New Mathematical Library, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6

[1] Вокруг задачи Архимеда. Лемма 4 Архивная копия от 29 апреля 2016 на Wayback Machine, рис. 10, c. 5

[2] A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 94

[3] A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 352

[4] Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. pp. 151–152

[1]

[2]

[3]

[4]