Теорема Сарда

Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.

Названа в честь американского математика Артура Сарда^[en]. В некоторых источниках называется теоремой Бертини — Сарда, а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат) и Шломо Стернберга (более поздний, но более общий результат).

ФормулировкаПравить

Пусть $U$$U$  — открытое множество в пространстве ${\mathbb{R}}^m$$\mathbb{R} ^{m}$  и $f:U\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$f:U\to \mathbb {R} ^{n}$  — гладкая функция класса $C^k,$$C^{k},$  где число $k⩾<!--\; ⩾\; -->1.$$k\geqslant 1.$  Пусть $S\subset <!--\; \subset \; -->U$$S\subset U$  — множество критических точек функции $f.$$f.$  Если $k⩾<!--\; ⩾\; -->m-<!--\; -\; -->n+1,$$k\geqslant m-n+1,$  то множество критических значений $f(S)$$f(S)$  является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега) в пространстве ${\mathbb{R}}^n.$$\R^n.$ 

ЗамечанияПравить

Как показал Х. Уитни, степень гладкости $k$$k$  здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях $m$$m$  и $n.$$n.$ 

ПримерПравить

Рассмотрим тождественно постоянную функцию $f\equiv <!--\; \equiv \; -->f_0.$$f\equiv f_{0}.$  Все точки её области определения $U$$U$  являются критическими, следовательно, $S=U.$$S=U.$  Однако множество критических значений $f(S)$$f(S)$  состоит из единственной точки $f_0$$f_0$ , и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщенияПравить

Лемма СардаПравить

Мера множества критических значений $C^1$$C^1$ -гладкой функции $f:[a,b]\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^1$$f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1}$  равна нулю.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок $[a,b]=[0,1].$$[a,b]=[0,1].$  Выберем число $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  и разобьём отрезок $[0,1]$$[0,1]$  на $n$$n$  равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной $f^{\prime }$$f'$  не превосходило $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}.$$\varepsilon .$  Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция $f^{\prime }$$f'$  непрерывна на отрезке $[0,1]$$[0,1]$ , и следовательно (Теорема о равномерной непрерывности), равномерно непрерывна на нём, т. е. $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$ 

Обозначим через ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i$$\Delta _{i}$  те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции $f,$$f,$  т. е. $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i:f^{\prime }({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i)=0.$$\exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$  Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка $|f^{\prime }(x)|⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$|f'(x)|\leqslant \varepsilon$  для всех $x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i$$x\in \Delta _{i}$ , и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек $y_1,y_2\in <!--\; \in \; -->f({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i)$$y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$  выполнено неравенство $|y_1-<!--\; -\; -->y_2|⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}{max}|f^{\prime }(x)|\cdot <!--\; \cdot \; -->|{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i|⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/n.$$|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \varepsilon /n.$ 

Покроем каждое множество $f({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i)$$f(\Delta _{i})$  интервалом длины $2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/n,$$2{\cdot }\varepsilon /n,$  тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит $2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/n\cdot <!--\; \cdot \; -->n=2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}.$$2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$  В силу произвольности выбора числа $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема ДубовицкогоПравить

Пусть $M^m$$M^{m}$  и $N^n$$N^{n}$  — два гладких многообразия положительных размерностей $m$$m$  и $n$$n$  и $f:M^m\to <!--\; \to \; -->N^n$$f:M^{m}\to N^{n}$  — гладкая функция класса $C^k,$$C^{k},$  где $k⩾<!--\; ⩾\; -->1.$$k\geqslant 1.$  Точка $x\in <!--\; \in \; -->M^m$$x\in M^{m}$  называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции $f$$f$  в ней меньше $n.$$n.$  Точка $y\in <!--\; \in \; -->N^n$$y\in N^{n}$  называется неправильной, если $y=f(x)$$y=f(x)$  хотя бы для одной неправильной точки $x\in <!--\; \in \; -->M^m$$x\in M^{m}$ . В случае $m⩾<!--\; ⩾\; -->n$$m\geqslant n$  понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае $m<n$  все точки многообразия $M^m$$M^{m}$  являются неправильными.

Если число $k⩾<!--\; ⩾\; -->m-<!--\; -\; -->n+1,$$k\geqslant m-n+1,$  то множество неправильных точек отображения $f$$f$  в многообразии $N^n$$N^{n}$  имеет первую категорию по Бэру, то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в $N^n.$$N^{n}.$

Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким.

Другие аналогиПравить

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах) получен Стивеном Смейлом. Аналоги для отображений пространств Гёльдера и Соболева получены в. Аналог для функций пониженной гладкости получен в.

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
• Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
• Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. — М.: Наука, 1985. — 176 c.