Лемма Гензеля

Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа $p$$p$, то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю $p^k$$p^{k}$, который может быть найден итеративным подъёмом по степеням $p$$p$. Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).

ФормулировкаПравить

Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.

Общая формулировкаПравить

Пусть $K$$K$  — поле, полное относительно дискретного нормирования $v$$v$ , а ${\mathcal{O}}_K$${\mathcal {O}}_{K}$  — кольцо целых поля $K$$K$  (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\in <!--\; \in \; -->K$$\pi \in K$  — некоторый элемент $K$$K$ , такой что $v(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})=1$$v(\pi )=1$ , обозначим соответствующее ему поле вычетов^[en] как $k={\mathcal{O}}_K/\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$k={\mathcal {O}}_{K}/\pi$ . Пусть $f(X)\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{O}}_K[X]$$f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]$  — некоторый многочлен с коэффициентами из ${\mathcal{O}}_K$${\mathcal {O}}_{K}$ . Если у редуцированного многочлена $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}(X)\in <!--\; \in \; -->k[X]$${\overline {f}}(X)\in k[X]$  есть простой корень (то есть, существует $k_0\in <!--\; \in \; -->k$$k_{0}\in k$  такой что $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}(k_0)=0$${\overline {f}}(k_{0})=0$  и $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f^{\prime }}(k_0)\ne <!--\; \ne \; -->0$${\overline {f'}}(k_{0})\neq 0$ ), то существует единственный $a\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{O}}_K$$a\in {\mathcal {O}}_{K}$ , такой что $f(a)=0$$f(a)=0$  и $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}=k_0$${\overline {a}}=k_{0}$ .

Альтернативная формулировкаПравить

В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть $f(x)$$f(x)$  — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также $m$$m$  и $k$$k$  — целые числа, такие что $0<m\leq k$ . Если $r$$r$  — целое число, такое что

$f(r)\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}{p}^k)\text{и}{f}^{\prime }(r)\not\equiv 0(\mathrm{mod}p),$$f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{и}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},$ 

то существует целое число $s$$s$ , такое что

$f(s)\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}{p}^{k+m})\text{и}r\equiv <!--\; \equiv \; -->s(\mathrm{mod}{p}^k).$$f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{и}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.$ 

Более того, число $s$$s$  определено однозначно по модулю $p^{k+m}$$p^{k+m}$  и может быть выражено в явном виде как

$s=r-<!--\; -\; -->f(r)\cdot <!--\; \cdot \; -->a,$$s=r-f(r)\cdot a,$ 

где $a$$a$  — целое число, такое что

$a\equiv <!--\; \equiv \; -->[f^{\prime }(r){]}^{-<!--\; -\; -->1}(\mathrm{mod}{p}^m).$$a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m}}}.$ 

Следует заметить, что, в силу $f(r)\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}{p}^k)$$f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ , также выполнено условие $s\equiv <!--\; \equiv \; -->r(\mathrm{mod}{p}^k)$$s\equiv r{\pmod {p^{k}}}$ .

ПримерПравить

Рассмотрим уравнение $x^2\equiv <!--\; \equiv \; -->x(\mathrm{mod}{10}^k)$$x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k}}}$ , определяющее автоморфные числа длины $k$$k$  в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:

$\{\begin{array}{l}{x}^2\equiv <!--\; \equiv \; -->x(\mathrm{mod}{2}^k),\\ x^2\equiv <!--\; \equiv \; -->x(\mathrm{mod}{5}^k)\end{array}$${\begin{cases}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}}\end{cases}}$ 

При $k=1$$k=1$  решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на $0$$0$ , $1$$1$ , $5$$5$  или $6$$6$ . Чтобы получить решения для больших $k$$k$ , можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что $f(x)=x^2-<!--\; -\; -->x$$f(x)=x^{2}-x$ .

По приведённым выше формулам, переход от $p^k$$p^{k}$  к $p^{k+m}$$p^{k+m}$  для $m\le <!--\; \le \; -->k$$m\leq k$  будет иметь следующий вид:

$s=r-<!--\; -\; -->(r^2-<!--\; -\; -->r)\cdot <!--\; \cdot \; -->(2r-<!--\; -\; -->1{)}^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{r^2}{2r-<!--\; -\; -->1}(\mathrm{mod}{p}^{k+m}).$${\textstyle s=r-(r^{2}-r)\cdot (2r-1)^{-1}={\frac {r^{2}}{2r-1}}{\pmod {p^{k+m}}}.}$ 

См. такжеПравить

• Теорема Минковского — Хассе

ЛитератураПравить

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8, DOI 10.1007/978-1-4612-5350-1 
• Milne, J. G. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7