Линейная частотная модуляция

Линейная частотная модуляция (ЛЧМ) сигнала — это вид частотной модуляции, при которой частота несущего сигнала изменяется по линейному закону.

Математическое описаниеПравить

Во временной областиПравить

 

Сигнал ЛЧМ в течение периода времени

Изменение частоты $f(t)$$f(t)$  внутри импульсов с ЛЧМ происходит по линейному закону:

$f(t)=f_0+b\cdot <!--\; \cdot \; -->t,-<!--\; -\; -->\frac{T_{\text{c}}}{2}⩽<!--\; ⩽\; -->t⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{T_{\text{c}}}{2},$$f(t)=f_{0}+b\cdot t,\quad -{\frac {T_{\text{c}}}{2}}\leqslant t\leqslant {\frac {T_{\text{c}}}{2}},$ 

где $f_0$$f_0$  - начальная частота сигнала; $b=(F_{\text{max}}-<!--\; -\; -->f_0)/T_{\text{c}}$$b=(F_{\text{max}}-f_{0})/T_{\text{c}}$ ; $T_{\text{c}}$$T_{\text{c}}$  — длительность сигнала; $F_{\text{max}}$$F_{\text{max}}$  — максимальное значение частоты радиосигнала.

Фаза сигнала с ЛЧМ определяется как

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(f_{0}t+\frac{b}{2}{t}^2\right).$$\varphi (t)=2\pi \int \limits _{0}^{t}f(t)\,dt=2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right).$ 

Тогда ЛЧМ сигнал может быть описан выражением

$s_{\text{LFM}}(t)=S_0\cos <!--\; \; -->\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)\}=S_0\cos <!--\; \; -->\left\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(f_{0}t+\frac{b}{2}{t}^2\right)\right\},$$s_{\text{LFM}}(t)=S_{0}\cos\{\varphi _{0}+\varphi (t)\}=S_{0}\cos \left\{\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right\},$ 

или в комплексном виде

$s_{\text{LFM}}(t)=S_0{e}^{j\left\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(f_{0}t+\frac{b}{2}{t}^2\right)\right\},}$$s_{\text{LFM}}}(t)=S_{0}e^{j\left\{\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right\},$ 

где $S_0$$S_{0}$  — амплитуда сигнала; $j$$j$  — мнимая единица; ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0$$\varphi _{0}$  — начальная фаза.

В частотной областиПравить

Спектр ЛЧМ описывается так:

${\begin{cases}S(\omega )={\begin{cases}{\frac {A_{0}}{2}}{\sqrt {{\frac {T_{c}}{\Delta F_{m}}}}},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\varphi (\omega )={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{4}}-{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2\Delta \Omega _{M}}}T_{c},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\end{cases}}$ 

ОбработкаПравить

 

Сопоставление волна (wave) — вейвлет, ЛЧМ-сигнал (chirp) — чирплет

В обработке ЛЧМ сигналов чирплет-преобразование — это скалярное произведение входного сигнала с семейством элементарных математических функций, именуемых чирплетами.

ГенерацияПравить

• С помощью ГУН при подаче пилообразного напряжения на его управляющий вход. При этом нужно помнить, что обычно ГУНы имеют нелинейную зависимость выходной частоты от управляющего напряжения.
• С помощью специализированных блоков ГКЧ — генераторы качающейся частоты.
• Методом непосредственного цифрового синтеза (англ. DDS, direct digital synthesis), который можно реализовать, например:
  • с помощью микросхемы AD9910;
  • с помощью микросхемы 1508ПЛ8Т Архивная копия от 24 февраля 2009 на Wayback Machine:

Предусмотрена возможность работы микросхем совместно с внешними схемами ФАПЧ и ГУН для синтеза ЛЧМ-сигналов в диапазоне до нескольких гигагерц с сохранением высокой точности и скорости перестройки частоты.

ПрименениеПравить

ЛЧМ-сигналы применяются в радиолокации в качестве способа формирования и обработки зондирующего импульса. Применение ЛЧМ-сигнала позволяет повысить точность измерений в радиолокации.

См. такжеПравить

• Чирплет
• Методы расширения спектра

ЛитератураПравить

1. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — 3-е изд. — М.: «Высшая школа», 2000. — 462 с. — ISBN 5-06-003843-2.
2. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — 5-е изд. — М.: Дрофа, 2006. — 719 с. — ISBN 5-7107-7985-7.
3. Mahafza, B. R. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB / Bassem R. Mahafza. — CHAPMAN&HALL/CRC, 2000. — 532 с. — ISBN 1-58488-182-8.

---