Кубическая функция
Куби́ческая фу́нкция в математике — это числовая функция вида
где Другими словами, кубическая функция задаётся многочленом третьей степени.
Аналитические свойстваПравить
Производная кубической функции имеет вид . В случае, когда дискриминант полученного квадратного уравнения больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции . При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной определяет точку перегиба .
ГрафикПравить
График кубической функции называется куби́ческой пара́болой. В литературе часто встречаются альтернативные определения кубической параболы как графика функции или . Легко видеть, что, применяя параллельный перенос, можно привести кубическую параболу к виду, когда она будет задаваться уравнением . Путём применения аффинных преобразований плоскости можно добиться, чтобы и . В этом смысле все определения будут эквивалентны.
Кроме того, кубическая парабола
- центрально-симметрична относительно точки перегиба,
- всегда пересекает линию абсцисс хотя бы в одной точке,
- не имеет общих точек со своей касательной в точке перегиба, кроме как в самой точке касания.
Коэффициент при кубе | Коэффициент при квадрате | Коэффициент при первой степени |
КоллинеарностьПравить
Касающиеся прямые в трёх коллинеарных точках графика кубической функции пересекают график снова в коллинеарных точках.[1]
ПрименениеПравить
Кубическую параболу иногда применяют для расчёта переходной кривой на транспорте, так как её вычисление намного проще, чем построение клотоиды.
См. такжеПравить
ПримечанияПравить
- ↑ Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books Архивная копия от 24 марта 2016 на Wayback Machine
ЛитератураПравить
- Л. С. Понтрягин, Кубическая парабола // «Квант», 1984, № 3.
- И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, «Справочник по математике», издательство «Наука», М. 1967, с. 84