Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики.

Статистическая гипотеза — гипотеза о виде распределения и свойствах случайной величины, которое можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки.

Статистические гипотезыПравить

ОпределенияПравить

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина $X$$X$ , распределение которой $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$  полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$  называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$ , то есть $H:\{\mathbb{P}={\mathbb{P}}_0\}$$H:\;\{{\mathbb {P}}={\mathbb {P}}_{0}\}$ , где ${\mathbb{P}}_0$${\mathbb {P}}_{0}$ — какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$  к некоторому семейству распределений, то есть вида $H:\{\mathbb{P}\in <!--\; \in \; -->\mathcal{P}\}$$H:\;\{{\mathbb {P}}\in {\mathcal {P}}\}$ , где $\mathcal{P}$${\mathcal {P}}$  — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу $H_0$$H_{0}$ . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза $H_1$$H_1$ , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке $(X_1,X_2,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n)$$(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$  фиксированного объема $n\ge <!--\; \ge \; -->1$$n\geq 1$  для распределения $\mathbb{P}$${\mathbb P}$ . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

ПримерПравить

Пусть дана независимая выборка $(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n)\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},1)$$(X_{1},\ldots ,X_{n})\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1)$  из нормального распределения, где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — неизвестный параметр. Тогда $H_0:\{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0\}$$H_{0}:\;\{\mu =\mu _{0}\}$ , где ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0$$\mu _{0}$  — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней $H_1:\{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0\}$$H_{1}:\;\{\mu >\mu _{0}\}$  — сложной.

Этапы проверки статистических гипотезПравить

1. Формулировка основной гипотезы $H_0$$H_{0}$  и конкурирующей гипотезы $H_1$$H_1$ .
2. Задание уровня значимости $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
3. Расчёт статистики $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  критерия такой, что:
   • её величина зависит от исходной выборки $\mathbf{X}=(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n):\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n)$${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots ,X_{n}):\;\phi =\phi (X_{1},\ldots ,X_{n})$ ;
   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы $H_0$$H_{0}$ ;
   • статистика $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ , как функция случайной величины $\mathbf{X}$$\mathbf {X}$ , также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения.
4. Построение критической области. Из области значений $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  выделяется подмножество $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство $P(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathcal{C})=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$P(\phi \in {\mathcal {C}})=\alpha$ . Это множество $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  и называется критической областью.
5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  и по попаданию (или непопаданию) в критическую область $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$  выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы $H_0$$H_{0}$ .

Виды критической областиПравить

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/2})\cup <!--\; \cup \; -->(x_{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/2}+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(-\infty ,\;x_{{\alpha /2}})\cup (x_{{1-\alpha /2}}\;+\infty )$ , где $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/2},x_{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/2}$$x_{{\alpha /2}},\;x_{{1-\alpha /2}}$  находят из условий $P(\phi <x_{\alpha /2})={\frac {\alpha }{2}},\quad P(\phi >x_{1-\alpha /2})=1-{\frac {\alpha }{2}}$ .
• Левосторонняя критическая область определяется интервалом $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})$$(-\infty ,\;x_{\alpha })$ , где $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$x_{\alpha }$  находят из условия $P(\phi <x_{\alpha })=\alpha$ .
• Правосторонняя критическая область определяется интервалом $(x_{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(x_{{1-\alpha }},\;+\infty )$ , где $x_{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$x_{{1-\alpha }}$  находят из условия $P(\phi <x_{{1-\alpha }})=1-\alpha$ .

См. такжеПравить

• Ошибки первого и второго рода
• Статистический критерий
• Уровень значимости
• Статистическая мощность
• Квантиль

ЛитератураПравить

• Статистическая гипотеза // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.