Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивостиПравить

Передаточная функция динамической системы $T(s)$$\ T(s)$  может быть представлена в виде дроби

$T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$$\ T(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}$ .

Устойчивость $T(s)$$\ T(s)$  достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости $s$$\ s$ . В правой полуплоскости их быть не должно. Если $T(s)$$\ T(s)$  получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией $F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}$$\ F(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}$ , тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции $1+F(s)$$\ 1+F(s)$ . Выражение $1+F(s)=0$$\ 1+F(s)=0$  называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента КошиПравить

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_s$$\Gamma _{s}\$ , охватывающий на $s$$\ s$ -плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость $F(s)$$\ F(s)$ ) при помощи функции $F(s)$$\ F(s)$  таким образом, что получившийся контур ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{F(s)}$$\Gamma _{F(s)}\$  будет охватывать центр $F(S)$$\ F(S)$ -плоскости $n$$\ n$  раз, причём $n=z-<!--\; -\; -->p$$\ n=z-p$ , где $z$$\ z$  — число нулей, а $p$$\ p$  — число полюсов функции $F(s)$$\ F(s)$ . Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_s$$\Gamma _{s}\$ , а отрицательным — противоположное ему.

Формулировка критерияПравить

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

• участок, идущий вверх по оси $j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\ j\omega \$ , от $0-<!--\; -\; -->j\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$0-j\infty$  до $0+j\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$0+j\infty$ .
• полуокружность радиусом $r\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$r\to \infty$ , начинающаяся в точке $0+j\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$0+j\infty$  и достигающая конца в точке $0-<!--\; -\; -->j\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$0-j\infty$  по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы $F(s)$$\ F(s)$ , в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции $F(s)$$\ F(s)$  минус количество полюсов $F(s)$$\ F(s)$  в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку $-<!--\; -\; -->1+j0$$\ -1+j0$ , получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции $1+F(s)$$\ 1+F(s)$ . Заметив, что функция $1+F(s)$$\ 1+F(s)$  имеет такие же полюса, что и функция $F(s)$$\ F(s)$ , а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_s$$\Gamma _{s}\$  — замкнутый контур в комплексной плоскости, $p$$\ p$  — число полюсов $F(s)$$\ F(s)$ , охваченных контуром ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_s$$\Gamma _{s}\$ , а $z$$\ z$  — число нулей $F(s)$$\ F(s)$ , охваченных ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_s$$\Gamma _{s}\$  — то есть число полюсов $T(s)$$\ T(s)$ , охваченных ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_s$$\Gamma _{s}\$ . Получившийся контур в $F(s)$$\ F(s)$ -плоскости, ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{F(s)}$$\Gamma _{F(s)}\$  должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку $-<!--\; -\; -->1+j0$$\ -1+j0$  $n$$\ n$  раз, где $n=z-<!--\; -\; -->p$$\ n=z-p$ .

В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае критерием Михайлова (критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым в 1936 году):

Система порядка $n$$\ n$  устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости, последовательно проходит $n$$\ n$  координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0.

Следствия критерия Найквиста — Михайлова:

• Если разомкнутая система с передаточной функцией $F(s)$$\ F(s)$  устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
• Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов $F(s)$$\ F(s)$  вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов $F(s)$$\ F(s)$  в правой полуплоскости.
• Количество дополнительных охватов (больше, чем $n+p$$\ n+p$ ) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. такжеПравить

• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• ЛАФЧХ

ЛитератураПравить

• Михайлов А. В. О новом подходе исследования замкнутых регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8.
• Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126—147.
• Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4.