Кривая Евдокса

Кривая Евдокса (греческий: καμπύλη [γραμμή], что переводится как «кривая [линия]») — это кривая с уравнением в декартовых координатах

График кривой Евдокса с a = 1

$x^4=a^2(x^2+y^2),$$x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),$

из которого исключается решение x = y = 0.

Альтернативные параметризацииПравить

В полярной системе координат кривая Евдокса имеет уравнение

$r=a{\sec }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$$r=a\sec ^{2}\theta .$ 

Эквивалентно, кривая имеет параметрическое представление

$x=a\sec <!--\; \; -->(t),y=a\tan <!--\; \; -->(t)\sec <!--\; \; -->(t).$$x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).$ 

ИсторияПравить

Эту кривую четвёртой степени изучал греческий астроном и математик Евдокс Книдский (408—347 до нашей эры) в связи с классической задачей удвоения куба.

СвойстваПравить

Кривая Евдокса симметрична как относительно оси x, так и оси y. Она пересекает ось x в точках (±a,0). Кривая имеет точки перегиба

$\left(\pm <!--\; \pm \; -->a\frac{\sqrt{6}}{2},\pm <!--\; \pm \; -->a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ 

(четыре точки перегиба, по одной в каждом квадранте). Верхняя половина кривой асимптотически приближается к $x^2/a-<!--\; -\; -->a/2$$x^{2}/a-a/2$  при $x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\to \infty$ , и, фактически, можно записать

$y=\frac{x^2}{a}\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{a^2}{x^2}}=\frac{x^2}{a}-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n{\left(\frac{a}{2x}\right)}^{2n},$$y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},$ 

где

$C_n=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}$ 

является $n$$n$ -м числом Каталана.

СсылкиПравить

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
• Weisstein, Eric W. Kampyle of Eudoxus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.