Кривая Госпера

Крива́я Го́спера, или крива́я Пеа́но-Го́спера^[1], названная по имени открывателя Билла Госпера, — это заполняющая пространство кривая. Является фрактальной кривой, подобной кривым дракона и Гильберта.


Четвёртая стадия кривой Госпера	Ломаная линия от красной точки до зелёной показывает один шаг построения кривой Госпера.

АлгоритмПравить

Система ЛинденмайераПравить

Кривую Госпера можно представить с помощью системы Линденмайера со следующими правилами:

Угол: 60°
Аксиома: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$
Правила подстановки:
- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A\mapsto A-B--B+A++AA+B-$
- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B\mapsto +A-BB--B-A++A+B$

В этом случае A и B означают движение вперёд, + означает поворот влево на 60º, а — означает поворот на 60º вправо с использованием «черепашьего» стиля программирования, как в Лого или Python3.

ЛогоПравить

Программа на Лого для рисования кривой Госпера с использованием черепашьей графики (онлайн-версия):

to rg :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / sqrt 7
if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln  rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60]
if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60]
end

to gl :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / sqrt 7
if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln]
if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln]
end

Программу можно запустить, например, командой rg 4 300 или gl 4 300.

Python3 Править

import turtle

turtle.hideturtle()
turtle.tracer(0)
turtle.penup()
turtle.setposition(180, 240)
turtle.pendown()

axiom, tempAx, logic, iterations = 'A', '', {'A': 'A-B--B+A++AA+B-', 'B': '+A-BB--B-A++A+B'}, 5

for i in range(iterations):
    for j in axiom:
        tempAx += logic[j] if j in logic else j
    axiom, tempAx = tempAx, ''

for k in axiom:
    if k == '+':
        turtle.left(60)
    elif k == '-':
        turtle.right(60)
    else:
        turtle.forward(4)

turtle.update()
turtle.mainloop()

СвойстваПравить

Заполненные кривой фрагменты плоскости называются островами Госпера. Несколько первых итераций приведены ниже:

Остров Госпера может замостить плоскость. Фактически, семь копий острова Госпера можно соединить вместе с образованием похожей фигуры, но увеличенной на множитель √7 во всех направлениях. Как видно из рисунка ниже, эта операция приводит к уменьшенной версии следующей итерации кривой. Продолжение процесса бесконечно даёт замощение плоскости. Сама кривая может быть равным образом расширена на бесконечность с заполнением всей плоскости.