Коэффициент нелинейных искажений

Коэффицие́нт нелине́йных искаже́ний (КНИ или K_Н) — величина для количественной оценки нелинейных искажений.

ОпределениеПравить

Коэффициент нелинейных искажений равен отношению среднеквадратичной суммы спектральных компонентов выходного сигнала, отсутствующих в спектре входного сигнала, к среднеквадратичной сумме всех спектральных компонент входного сигнала

$K_{\mathrm{H}}=\frac{\sqrt{U_2^2+U_3^2+U_4^2+\dots <!--\; \dots \; -->+U_n^2+\dots <!--\; \dots \; -->}}{\sqrt{U_1^2+U_2^2+U_3^2+\dots <!--\; \dots \; -->+U_n^2+\dots <!--\; \dots \; -->}}$$K_{{\mathrm {H}}}={\frac {{\sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}}{{\sqrt {U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}}}$ 

КНИ — безразмерная величина и выражается обычно в процентах. Кроме КНИ, уровень нелинейных искажений часто выражают и через коэффициент гармонических искажений (КГИ или K_Г) — величину, выражающую степень нелинейных искажений устройства (усилителя и др.) и равную отношению среднеквадратичного напряжения суммы высших гармоник сигнала, кроме первой, к напряжению первой гармоники при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала.

$K_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}=\frac{\sqrt{U_2^2+U_3^2+U_4^2+\dots <!--\; \dots \; -->+U_n^2+\dots <!--\; \dots \; -->}}{U_1}$$K_{{\Gamma }}={\frac {{\sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}}{U_{1}}}$ 

КГИ, так же, как и КНИ, выражается в процентах и связан с ним соотношением

$K_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}=\frac{K_{\mathrm{H}}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->K_{\mathrm{H}}^2}}$$K_{{\Gamma }}={\frac {K_{{\mathrm {H}}}}{{\sqrt {1-K_{{\mathrm {H}}}^{2}}}}}$ 

Для малых значений КГИ и КНИ совпадают в первом приближении. В западной литературе обычно пользуются КГИ, тогда как в отечественной литературе традиционно предпочитают КНИ.

КНИ и КГИ — это лишь количественные меры искажений, но не качественные. Например, значение КНИ (КГИ), равное 3% ничего не говорит о характере искажений, т.е. о том, как в спектре сигнала распределены гармоники, и каков, например, вклад НЧ или ВЧ составляющих. Так, в спектрах ламповых УМЗЧ обычно преобладают низшие гармоники, что часто воспринимается на слух как «тёплый ламповый звук», а в транзисторных УМЗЧ искажения более равномерно распределены по спектру, и он более плоский, что часто воспринимается как «типичный транзисторный звук» (хотя спор этот во многом зависит от личных ощущений и привычек человека).

Согласно действующему "ГОСТ 16465-70. Государственный стандарт. Сигналы радиотехнические измерительные. Термины и определения." наименование "Коэффициент нелинейных искажений" недопустимо к применению (недопустимый к применению термин-синоним). Правильно использовать только термин "Коэффициент гармоник".

Примеры расчёта КГИПравить

Для многих стандартных сигналов КГИ может быть подсчитан аналитически. Так, для симметричного прямоугольного сигнала (меандра)

$K_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{8}-<!--\; -\; -->1}\approx <!--\; \approx \; -->0.483=48.3\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$K_{{\Gamma }}\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{8}}-1\,}}\approx \,0.483\,=\,48.3\%$ 

Идеальный пилообразный сигнал имеет КГИ

$K_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{6}-<!--\; -\; -->1}\approx <!--\; \approx \; -->0.803=80.3\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$K_{{\Gamma }}\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{6}}-1\,}}\approx \,0.803\,=\,80.3\%$ 

а симметричный треугольный

$K_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^4}{96}-<!--\; -\; -->1}\approx <!--\; \approx \; -->0.121=12.1\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$K_{{\Gamma }}\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{4}}{96}}-1\,}}\approx \,0.121\,=\,12.1\%$ 

Несимметричный прямоугольный импульсный сигнал с соотношением длительности импульса к периоду, равному μ обладает КГИ

$K_{{\Gamma }}\,(\mu )={\sqrt {{\frac {\mu (1-\mu )\pi ^{2}\,}{2\sin ^{2}\pi \mu }}-1\;}}\,,\qquad 0<\mu <1$ ,

который достигает минимума (≈0.483) при μ=0.5, т.е. тогда, когда сигнал становится симметричным меандром. Кстати, фильтрованием можно добиться значительного снижения КГИ этих сигналов, и таким образом получать сигналы, близкие по форме к синусоидальным. Например, симметричный прямоугольный сигнал (меандр) с изначальным КГИ в 48.3%, после прохождения через фильтр Баттерворта второго порядка (с частотой среза, равной частоте основной гармоники) имеет КГИ уже в 5.3%, а если фильтр четвёртого порядка — то КГИ=0.6%. Чем более сложный сигнал на входе фильтра и чем более сложный сам фильтр (а точнее, его передаточная функция), тем более громоздкими и трудоёмкими будут вычисления КГИ. Так, стандартный пилообразный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта первого порядка, имеет КГИ уже не 80.3% а 37.0%, который в точности даётся следующим выражением

$K_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{3}-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\approx <!--\; \approx \; -->0.370=37.0\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$K_{{\Gamma }}\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}-\pi \,{\mathrm {cth}}\,\pi \,}}\,\approx \,0.370\,=\,37.0\%$ 

А КГИ того же сигнала, прошедшего через такой же фильтр, но второго порядка, уже будет даваться достаточно громоздкой формулой

$K_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}=\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}}^2\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\left({\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{2}}+{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}}^2\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{2}}\right)}+\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{3}-<!--\; -\; -->1}\approx <!--\; \approx \; -->0.181=18.1\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$K_{{\Gamma }}\,={\sqrt {\pi \,{\frac {\,{\mathrm {ctg}}\,{\dfrac {\pi }{{\sqrt {2\,}}}}\cdot \,{\mathrm {cth}}^{{2\!}}{\dfrac {\pi }{{\sqrt {2\,}}}}-\,{\mathrm {ctg}}^{{2\!}}{\dfrac {\pi }{{\sqrt {2\,}}}}\cdot \,{\mathrm {cth}}\,{\dfrac {\pi }{{\sqrt {2\,}}}}-\,{\mathrm {ctg}}\,{\dfrac {\pi }{{\sqrt {2\,}}}}-\,{\mathrm {cth}}\,{\dfrac {\pi }{{\sqrt {2\,}}}}\;}{{\sqrt {2\,}}\left({\mathrm {ctg}}^{{2\!}}{\dfrac {\pi }{{\sqrt {2\,}}}}+\,{\mathrm {cth}}^{{2\!}}{\dfrac {\pi }{{\sqrt {2\,}}}}\!\right)}}\,+\,{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}\,-\,1\;}}\;\approx \;0.181\,=\,18.1\%$ 

Если же рассматривать вышеупомянутый несимметричный прямоугольный импульсный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта p-го порядка, то тогда

$K_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},p)=\csc <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}){\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\sin }^2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\underset{s=1}{\overset{2p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{z}_s}{z_s^2}\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{l=1}{l\ne <!--\; \ne \; -->s}}{\overset{2p}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\frac{1}{z_s-<!--\; -\; -->z_l}+\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\mathrm{R}\mathrm{e}\underset{s=1}{\overset{2p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{z}_s(2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->1)}}{z_s^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{z}_s}\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{l=1}{l\ne <!--\; \ne \; -->s}}{\overset{2p}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\frac{1}{z_s-<!--\; -\; -->z_l}}$$K_{{\Gamma }}\,(\mu ,p)=\csc \pi \mu \,\cdot \!{\sqrt {\mu (1-\mu )\pi ^{2}-\,\sin ^{2}\!\pi \mu \,-\,{\frac {\,\pi }{2}}\sum _{{s=1}}^{{2p}}{\frac {\,{\mathrm {ctg}}\,\pi z_{s}}{z_{s}^{2}}}\prod \limits _{{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}}^{{2p}}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,+\,{\frac {\,\pi }{2}}\,{\mathrm {Re}}\sum _{{s=1}}^{{2p}}{\frac {e^{{i\pi z_{s}(2\mu -1)}}}{z_{s}^{2}\sin \pi z_{s}}}\prod \limits _{{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}}^{{2p}}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,}}$ 

где 0<μ<1 и

$z_l\equiv <!--\; \equiv \; -->\exp <!--\; \; -->\frac{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(2l-<!--\; -\; -->1)}{2p},l=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,2p$$z_{l}\equiv \exp {{\frac {i\pi (2l-1)}{2p}}}\,,\qquad l=1,2,\ldots ,2p$ 

подробности вычислений — см. Ярослав Благушин и Эрик Моро.

ИзмеренияПравить

• В низкочастотном (НЧ) диапазоне для измерения КНИ применяются измерители нелинейных искажений (измерители коэффициента гармоник).
• На более высоких частотах (СЧ, ВЧ) используют косвенные измерения с помощью анализаторов спектра или селективных вольтметров.

Типовые значения КНИ и КГИПравить

Ниже приведены некоторые типовые значения для КНИ, и в скобках, для КГИ.

• 0 % (0%) — форма сигнала представляет собой идеальную синусоиду.
• 3 % (3 %) — форма сигнала отлична от синусоидальной, но искажения незаметны на глаз.
• 5 % (5 %) — отклонение формы сигнала от синусоидальной заметной на глаз по осциллограмме.
• 10 % (10 %) — стандартный уровень искажений, при котором считают реальную мощность (RMS) УМЗЧ, заметен на слух.
• 12 % (12 %) — идеально симметричный треугольный сигнал.
• 21 % (22 %) — «типичный» сигнал трапецеидальной или ступенчатой формы.
• 43 % (48 %) — идеально симметричный прямоугольный сигнал (меандр).
• 63 % (80 %) — идеальный пилообразный сигнал.

См. такжеПравить

• Искажения сигнала
• Измеритель нелинейных искажений

ЛитератураПравить

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2 т. / Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978.
• Горохов П. К. Толковый словарь по радиоэлектронике. Основные термины. — М: Рус. яз., 1993.

Дополнительные ссылкиПравить

• ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАНАЛА ЗВУКОПЕРЕДАЧИ
• Коэффициент нелинейных искажений (КНИ / THD / THDI)