Квантили распределения Стьюдента

Кванти́ли распределе́ния Стью́дента (коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики, таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез.

ОпределениеПравить

Пусть $F_n$$F_{n}$  — функция распределения Стьюдента $\mathrm{t}(n)$${\mathrm {t}}(n)$  с $n$$n$  степенями свободы, и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$\alpha \in [0,1]$ . Тогда $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ -квантилью этого распределения называется число $t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},n}$$t_{{\alpha ,n}}$  такое, что

$F_n\left(t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},n}\right)=1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$F_{n}\left(t_{{\alpha ,n}}\right)=1-\alpha$ .

ЗамечанияПравить

• Прямо из определения следует, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с $n$$n$  степенями свободы, превышает значение $t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},n}$$t_{{\alpha ,n}}$  с вероятностью $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и не превышает его с вероятностью $1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$1-\alpha$ .
• Функция $F_n$$F_{n}$  строго возрастает для любого $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in {\mathbb {N}}$ . Следовательно, определена её обратная функция $F_n^{-<!--\; -\; -->1}$$F_{n}^{{-1}}$ , и

$F_n^{-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},n}$$F_{n}^{{-1}}(1-\alpha )=t_{{\alpha ,n}}$ .

• Функция $F_n^{-<!--\; -\; -->1}$$F_{n}^{{-1}}$  не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.
• Распределение $\mathrm{t}(n)$${\mathrm {t}}(n)$  симметрично. Следовательно,

$t_{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},n}=-<!--\; -\; -->t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},n}$$t_{{1-\alpha ,n}}=-t_{{\alpha ,n}}$ .

Таблица квантилейПравить

Нижеприведённая таблица получена с помощью функции tinv Архивная копия от 5 апреля 2010 на Wayback Machine пакета MATLAB. Чтобы получить значение $t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},k}$$t_{{\alpha ,k}}$ , необходимо найти строку, соответствующую нужному $k$$k$ , числу степеней свободы, рассчитываемому по формуле $k=n-<!--\; -\; -->1$$k=n-1$ , и колонку, соответствующую нужному $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ . Искомое число находится в таблице на их пересечении. Если необходимо использовать $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , не приведённое в таблице, то значения можно получить в табличных редакторах (в Excel функия СТЬЮДРАСПОБР; в LibreOffice — TINV). Кроме того, не следует путать запись $t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},k}$$t_{{\alpha ,k}}$  и $t_{p,k}$$t_{{p,k}}$ . Во второй записи, которая очень часто приводится в качестве ответа, речь идёт о величине «p=1-$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ ».

Квантили $t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},k}$$t_{{\alpha ,k}}$ 

one-tailed test (односторонний)	1-0,9/2 (55 %)	1-0,8/2 (60 %)	1-0,7/2 (65 %)	1-0,6/2 (70 %)	1-0,5/2 (75 %)	1-0,4/2 (80 %)	1-0,3/2 (85 %)	1-0,2/2 (90 %)	1-0,1/2 (95 %)	1-0,05/2 (97,5 %)	1-0,02/2 (99 %)	1-0,01/2 (99,5 %)	1-0,005/2 (99,75 %)	1-0,002/2 (99,9 %)	1-0,001/2 (99,95 %)
two-tailed test (двухсторонний)	1-0,9 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,9, P=0,1 (10 %)	1-0,8 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,8, P=0,2 (20 %)	1-0,7 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,7, P=0,3 (30 %)	1-0,6 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,6, P=0,4 (40 %)	1-0,5 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,5, P=0,5 (50 %)	1-0,4 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,4, P=0,6 (60 %)	1-0,3 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,3, P=0,7 (70 %)	1-0,2 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,2, P=0,8 (80 %)	1-0,1 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,1, P=0,9 (90 %)	1-0,05 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,05, P=0,95 (95 %)	1-0,02 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,02, P=0,98 (98 %)	1-0,01 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,01, P=0,99 (99 %)	1-0,005 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,005, P=0,995 (99,5 %)	1-0,002 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,002, P=0,998 (99,8 %)	1-0,001 ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,001, P=0,999 (99,9 %)
1	0,1584	0,3249	0,5095	0,7265	1,0000	1,3764	1,9626	3,0777	6,3138	12,7062	31,8205	63,657	127,32	318,31	636,62
2	0,1421	0,2887	0,4447	0,6172	0,8165	1,0607	1,3862	1,8856	2,9200	4,3027	6,9646	9,9248	14,089	22,327	31,599
3	0,1366	0,2767	0,4242	0,5844	0,7649	0,9785	1,2498	1,6377	2,3534	3,1824	4,5407	5,8409	7,4533	10,215	12,924
4	0,1338	0,2707	0,4142	0,5686	0,7407	0,9410	1,1896	1,5332	2,1318	2,7764	3,7469	4,6041	5,5976	7,1732	8,6103
5	0,1322	0,2672	0,4082	0,5594	0,7267	0,9195	1,1558	1,4759	2,0150	2,5706	3,3649	4,0321	4,7733	5,8934	6,8688
6	0,1311	0,2648	0,4043	0,5534	0,7176	0,9057	1,1342	1,4398	1,9432	2,4469	3,1427	3,7074	4,3168	5,2076	5,9588
7	0,1303	0,2632	0,4015	0,5491	0,7111	0,8960	1,1192	1,4149	1,8946	2,3646	2,9980	3,4995	4,0293	4,7853	5,4079
8	0,1297	0,2619	0,3995	0,5459	0,7064	0,8889	1,1081	1,3968	1,8595	2,3060	2,8965	3,3554	3,8325	4,5008	5,0413
9	0,1293	0,2610	0,3979	0,5435	0,7027	0,8834	1,0997	1,3830	1,8331	2,2622	2,8214	3,2498	3,6897	4,2968	4,7809
10	0,1289	0,2602	0,3966	0,5415	0,6998	0,8791	1,0931	1,3722	1,8125	2,2281	2,7638	3,1693	3,5814	4,1437	4,5869
11	0,1286	0,2596	0,3956	0,5399	0,6974	0,8755	1,0877	1,3634	1,7959	2,2010	2,7181	3,1058	3,4966	4,0247	4,437
12	0,1283	0,2590	0,3947	0,5386	0,6955	0,8726	1,0832	1,3562	1,7823	2,1788	2,6810	3,0545	3,4284	3,9296	4,3178
13	0,1281	0,2586	0,3940	0,5375	0,6938	0,8702	1,0795	1,3502	1,7709	2,1604	2,6503	3,0123	3,3725	3,852	4,2208
14	0,1280	0,2582	0,3933	0,5366	0,6924	0,8681	1,0763	1,3450	1,7613	2,1448	2,6245	2,9768	3,3257	3,7874	4,1405
15	0,1278	0,2579	0,3928	0,5357	0,6912	0,8662	1,0735	1,3406	1,7531	2,1314	2,6025	2,9467	3,286	3,7328	4,0728
16	0,1277	0,2576	0,3923	0,5350	0,6901	0,8647	1,0711	1,3368	1,7459	2,1199	2,5835	2,9208	3,252	3,6862	4,015
17	0,1276	0,2573	0,3919	0,5344	0,6892	0,8633	1,0690	1,3334	1,7396	2,1098	2,5669	2,8982	3,2224	3,6458	3,9651
18	0,1274	0,2571	0,3915	0,5338	0,6884	0,8620	1,0672	1,3304	1,7341	2,1009	2,5524	2,8784	3,1966	3,6105	3,9216
19	0,1274	0,2569	0,3912	0,5333	0,6876	0,8610	1,0655	1,3277	1,7291	2,0930	2,5395	2,8609	3,1737	3,5794	3,8834
20	0,1273	0,2567	0,3909	0,5329	0,6870	0,8600	1,0640	1,3253	1,7247	2,0860	2,5280	2,8453	3,1534	3,5518	3,8495
21	0,1272	0,2566	0,3906	0,5325	0,6864	0,8591	1,0627	1,3232	1,7207	2,0796	2,5176	2,8314	3,1352	3,5272	3,8193
22	0,1271	0,2564	0,3904	0,5321	0,6858	0,8583	1,0614	1,3212	1,7171	2,0739	2,5083	2,8188	3,1188	3,505	3,7921
23	0,1271	0,2563	0,3902	0,5317	0,6853	0,8575	1,0603	1,3195	1,7139	2,0687	2,4999	2,8073	3,104	3,485	3,7676
24	0,1270	0,2562	0,3900	0,5314	0,6848	0,8569	1,0593	1,3178	1,7109	2,0639	2,4922	2,7969	3,0905	3,4668	3,7454
25	0,1269	0,2561	0,3898	0,5312	0,6844	0,8562	1,0584	1,3163	1,7081	2,0595	2,4851	2,7874	3,0782	3,4502	3,7251
26	0,1269	0,2560	0,3896	0,5309	0,6840	0,8557	1,0575	1,3150	1,7056	2,0555	2,4786	2,7787	3,0669	3,435	3,7066
27	0,1268	0,2559	0,3894	0,5306	0,6837	0,8551	1,0567	1,3137	1,7033	2,0518	2,4727	2,7707	3,0565	3,421	3,6896
28	0,1268	0,2558	0,3893	0,5304	0,6834	0,8546	1,0560	1,3125	1,7011	2,0484	2,4671	2,7633	3,0469	3,4082	3,6739
29	0,1268	0,2557	0,3892	0,5302	0,6830	0,8542	1,0553	1,3114	1,6991	2,0452	2,4620	2,7564	3,038	3,3962	3,6594
30	0,1267	0,2556	0,3890	0,5300	0,6828	0,8538	1,0547	1,3104	1,6973	2,0423	2,4573	2,75	3,0298	3,3852	3,646
31	0,1267	0,2555	0,3889	0,5298	0,6825	0,8534	1,0541	1,3095	1,6955	2,0395	2,4528	2,744	3,0221	3,3749	3,6335
32	0,1267	0,2555	0,3888	0,5297	0,6822	0,8530	1,0535	1,3086	1,6939	2,0369	2,4487	2,7385	3,0149	3,3653	3,6218
33	0,1266	0,2554	0,3887	0,5295	0,6820	0,8526	1,0530	1,3077	1,6924	2,0345	2,4448	2,7333	3,0082	3,3563	3,6109
34	0,1266	0,2553	0,3886	0,5294	0,6818	0,8523	1,0525	1,3070	1,6909	2,0322	2,4411	2,7284	3,002	3,3479	3,6007
35	0,1266	0,2553	0,3885	0,5292	0,6816	0,8520	1,0520	1,3062	1,6896	2,0301	2,4377	2,7238	2,996	3,34	3,5911
36	0,1266	0,2552	0,3884	0,5291	0,6814	0,8517	1,0516	1,3055	1,6883	2,0281	2,4345	2,7195	2,9905	3,3326	3,5821
37	0,1265	0,2552	0,3883	0,5289	0,6812	0,8514	1,0512	1,3049	1,6871	2,0262	2,4314	2,7154	2,9852	3,3256	3,5737
38	0,1265	0,2551	0,3882	0,5288	0,6810	0,8512	1,0508	1,3042	1,6860	2,0244	2,4286	2,7116	2,9803	3,319	3,5657
39	0,1265	0,2551	0,3882	0,5287	0,6808	0,8509	1,0504	1,3036	1,6849	2,0227	2,4258	2,7079	2,9756	3,3128	3,5581
40	0,1265	0,2550	0,3881	0,5286	0,6807	0,8507	1,0500	1,3031	1,6839	2,0211	2,4233	2,7045	2,9712	3,3069	3,551
41	0,1264	0,2550	0,3880	0,5285	0,6805	0,8505	1,0497	1,3025	1,6829	2,0195	2,4208	2,7012	2,967	3,3013	3,5442
42	0,1264	0,2550	0,3880	0,5284	0,6804	0,8503	1,0494	1,3020	1,6820	2,0181	2,4185	2,6981	2,963	3,296	3,5377
43	0,1264	0,2549	0,3879	0,5283	0,6802	0,8501	1,0491	1,3016	1,6811	2,0167	2,4163	2,6951	2,9592	3,2909	3,5316
44	0,1264	0,2549	0,3878	0,5282	0,6801	0,8499	1,0488	1,3011	1,6802	2,0154	2,4141	2,6923	2,9555	3,2861	3,5258
45	0,1264	0,2549	0,3878	0,5281	0,6800	0,8497	1,0485	1,3006	1,6794	2,0141	2,4121	2,6896	2,9521	3,2815	3,5203
46	0,1264	0,2548	0,3877	0,5281	0,6799	0,8495	1,0483	1,3002	1,6787	2,0129	2,4102	2,687	2,9488	3,2771	3,515
47	0,1263	0,2548	0,3877	0,5280	0,6797	0,8493	1,0480	1,2998	1,6779	2,0117	2,4083	2,6846	2,9456	3,2729	3,5099
48	0,1263	0,2548	0,3876	0,5279	0,6796	0,8492	1,0478	1,2994	1,6772	2,0106	2,4066	2,6822	2,9426	3,2689	3,5051
49	0,1263	0,2547	0,3876	0,5278	0,6795	0,8490	1,0475	1,2991	1,6766	2,0096	2,4049	2,68	2,9397	3,2651	3,5004
50	0,1263	0,2547	0,3875	0,5278	0,6794	0,8489	1,0473	1,2987	1,6759	2,0086	2,4033	2,6778	2,937	3,2614	3,496
100	0,1260	0,2540	0,3864	0,5261	0,6770	0,8452	1,0418	1,2901	1,6602	1,9840	2,3642	2,6259	2,8707	3,1737	3,3905
1000	0,1257	0,2534	0,3854	0,5246	0,6747	0,8420	1,0370	1,2824	1,6464	1,9623	2,3301	2,5808	2,8133	3,0984	3,3003
Inf	0,1257	0,2534	0,3853	0,5244	0,6745	0,8416	1,0364	1,2816	1,6449	1,9600	2,3263	2,5758	2,8070	3,0902	3,2905

ПримерПравить

$t_{0,2,4}=1,5332$$t_{0,2,4}=1,5332$  ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,2, k=4);

$t_{0,8,4}=0,2707$$t_{0,8,4}=0,2707$  ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ =0,8, k=4).

См. такжеПравить

• Средняя квадратическая погрешность
• Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки